В треугольнике MKP сторона MP равна 20 см. Расстояние от точки K до прямой MP равно 1/2 KP. Через точку M проведена прямая a, параллельная KP. Найдите: a) ∠ MPK; б) расстояние между прямыми a и KP. 2. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой и равна данному отрезку, а угол, заключенный между этими сторонами, равен данному углу.

Задача 1: а) В треугольнике MKP сторона MP равна 20 см. Расстояние от точки K до прямой MP равно половине KP. Прямая *a* проходит через точку M параллельно KP. Требуется найти угол MPK. Обозначим расстояние от точки K до прямой MP как KH. По условию, KH = 1/2 KP. Рассмотрим треугольник KHP, где угол KHP прямой (так как KH - расстояние, перпендикуляр). В прямоугольном треугольнике KHP имеем: $\sin(\angle KPH) = \frac{KH}{KP} = \frac{1}{2}$ Угол, синус которого равен 1/2, равен 30 градусам. Следовательно, угол KPH = 30 градусов. Так как прямая *a* параллельна KP, то угол MPK равен углу KPH как накрест лежащие углы при параллельных прямых KP и *a* и секущей MP. Значит, $\angle MPK = 30^\circ$. Ответ: $\angle MPK = 30^\circ$ б) Расстояние между прямыми *a* и KP. Расстояние между прямыми *a* и KP равно KH. Так как KH = 1/2 KP, а $\angle MPK = 30^\circ$, рассмотрим треугольник MKP. KH является высотой этого треугольника, опущенной на сторону MP. Имеем прямоугольный треугольник KHP, в котором $\angle KPH = 30^\circ$. Тогда: $\sin(\angle KPH) = \frac{KH}{KP}$ $\frac{1}{2} = \frac{KH}{KP}$ $KP = 2KH$ Рассмотрим прямоугольный треугольник MKH. $\angle KMP = 30^\circ$. Пусть расстояние от M до KP равно MH. Известно, что KH = 1/2 KP. Так как расстояние от K до MP равно KH, и KH = 1/2 KP, то $KP = 2KH$. Так как $MP = 20$ см, и $\angle MPK = 30^\circ$, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой KP и углом 30 градусов против катета KH, имеем: $KH = KP \cdot \sin(\angle KPH) = KP \cdot \sin(30^\circ) = \frac{KP}{2}$ Тогда $KP = 2KH$. В треугольнике MKP высота KH опущена на сторону MP. $\sin(\angle MPK) = \frac{KH}{MK}$ $\sin(30^\circ) = \frac{KH}{MK} = \frac{1}{2}$ $MK = 2KH$ Теперь рассмотрим треугольник MKP. Мы знаем MP = 20 см, $\angle MPK = 30^\circ$, и высота KH. Обозначим расстояние между прямыми a и KP за d. Так как прямая a параллельна KP и проходит через точку M, расстояние d равно высоте KH. Рассмотрим прямоугольный треугольник KHP, где $\angle KPH = 30^\circ$. Мы знаем, что $MP = 20$ см. Нам нужно найти KH. Заметим, что $\angle KMP = 30^\circ$. $KH = MK \cdot \sin(30^\circ)$ В итоге, расстояние между прямыми *a* и KP равно KH, и KH = 10 см. Ответ: расстояние между прямыми a и KP равно 10 см. Задача 2: Даны неразвернутый угол и отрезок. Нужно построить треугольник, у которого одна сторона в два раза больше другой и равна данному отрезку, а угол, заключенный между этими сторонами, равен данному углу. 1. Даны угол $\alpha$ и отрезок длиной $a$. 2. Строим угол $\alpha$ с вершиной в точке A. 3. На одной стороне угла откладываем отрезок AC длиной $a$. 4. Вычисляем длину второй стороны AB: так как AC = a, то AB = a/2. 5. На другой стороне угла откладываем отрезок AB длиной a/2. 6. Соединяем точки B и C. Получаем треугольник ABC. В треугольнике ABC угол BAC равен данному углу $\alpha$, сторона AC равна данному отрезку $a$, а сторона AB равна половине отрезка AC, то есть $a/2$. Таким образом, одна сторона (AC) в два раза больше другой (AB), и угол между этими сторонами равен данному углу.