5. В треугольнике MNP MN = 10 см, МР = 8 см, NP = 6 см. Найдите площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне MN.

Решение:

Пусть дан треугольник MNP, MN = 10 см, MP = 8 см, NP = 6 см.

Найдем площадь треугольника MNP по формуле Герона:

$$p = \frac{MN+MP+NP}{2} = \frac{10+8+6}{2} = 12$$ см.

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$S = \sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)} = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6} = \sqrt{576} = 24$$ см²

С другой стороны, площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$$S = \frac{1}{2} MN \cdot PK$$

$$24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot PK$$

$$24 = 5 PK$$

$$PK = \frac{24}{5} = 4,8$$ см.

Ответ: 24 см², 4,8 см.