В треугольнике с вершинами A(1, 1, 1), B(1, 2, 3), C(3, 2, 1) угол при вершине A является

Чтобы определить, каким является угол при вершине A, нужно воспользоваться теоремой косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника:

$$AB = \sqrt{(1-1)^2 + (2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$$

$$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$$

$$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8}$$

Теперь используем теорему косинусов для угла A:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot \cos{A}$$

$$8 = 5 + 5 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{A}$$

$$8 = 10 - 10 \cdot \cos{A}$$

$$10 \cdot \cos{A} = 2$$

$$\cos{A} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2$$

Поскольку косинус угла A положительный (0.2 > 0), угол A является острым.

Ответ: острый