В треугольнике СРТ стороны СР и РТ равны, угол Р равен 114°. Биссектрисы углов С и Т пересекаются в точке А. Найдите величину угла САТ. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• △CPT
• CP = PT
• ∠P = 114°
• CA - биссектриса ∠C
• TA - биссектриса ∠T
• A - точка пересечения биссектрис

Найти: ∠CAT

Решение:

1. △CPT - равнобедренный, так как CP = PT.
2. Углы при основании равны: ∠C = ∠T.
3. Сумма углов в △CPT равна 180°.
4. ∠C + ∠T + ∠P = 180°
5. 2∠C + 114° = 180°
6. 2∠C = 180° - 114° = 66°
7. ∠C = ∠T = 66° / 2 = 33°
8. CA и TA - биссектрисы, значит, они делят углы C и T пополам.
9. ∠TCA = ∠C / 2 = 33° / 2 = 16.5°
10. ∠CTA = ∠T / 2 = 33° / 2 = 16.5°
11. Рассмотрим △CAT. Сумма углов в нем равна 180°.
12. ∠CAT + ∠TCA + ∠CTA = 180°
13. ∠CAT + 16.5° + 16.5° = 180°
14. ∠CAT + 33° = 180°
15. ∠CAT = 180° - 33° = 147°

Ответ: 147