4. В треугольнике ВМС стороны ВМ и МС равны, точка А лежит на биссектрисе МК. Докажите, что АB=AC.

Дано: ΔВМС, ВМ = МС, А лежит на биссектрисе МК.

Доказать: АВ = АС.

Доказательство:

Т.к. ВМ = МС, то ΔВМС – равнобедренный, и углы при его основании ВС равны: ∠MBC = ∠MCB.

Т.к. МК – биссектриса ∠BMC, то ∠BMA = ∠CMA.

Рассмотрим ΔАВМ и ΔACM:

• AM – общая сторона,
• BM = CM (по условию),
• ∠BMA = ∠CMA (т.к. AM – биссектриса).

Следовательно, ΔАВМ = ΔACM по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АВ = АС.

Ответ: АВ = АС