4. В треугольнике ВМС стороны ВМ и МС равны, точка А лежит на биссектрисе МК. Докажите, что AB = AC.

Треугольник ВМС - равнобедренный, так как ВМ = МС. Следовательно, углы при основании МС равны, то есть ∠МВС = ∠МСВ. Поскольку точка А лежит на биссектрисе угла М, то ∠ВМА = ∠СМА.

Рассмотрим треугольники ΔВМА и ΔСМА:

1. ВМ = МС (по условию).
2. ∠ВМА = ∠СМА (по условию).
3. МА - общая сторона.

Значит, треугольники ΔВМА и ΔСМА равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть АВ = АС.

Ответ: АВ = АС.