3. В треугольной пирамиде МАВС основание АВС правильный треугольник со стороной 2. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. Найдите угол между ребром МА и плоскостью (МВС).

Пусть сторона правильного треугольника ABC равна a = 2, а боковые ребра пирамиды равны b = 3.

Нам нужно найти угол между ребром MA и плоскостью (МВС).

Проведем высоту AH из точки A на плоскость (MBC). Угол между ребром MA и плоскостью (MBC) это угол MAH.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как он правильный, все его углы равны 60 градусам. Найдем его площадь.

$$S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$

Найдем радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC.

$$R = \frac{a}{ \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Пусть O - центр описанной окружности. Тогда AO = R = $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$.

Найдем высоту пирамиды MH.

$$MH = \sqrt{MA^2 - AO^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{9 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{23}{3}} = \frac{\sqrt{69}}{3}$$

Площадь треугольника MBC равна

$$ S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Объем пирамиды

$$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot MH = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{69}}{3} = \frac{\sqrt{207}}{9} = \frac{\sqrt{23}}{3}$$

Пусть AH - высота опущенная из точки A на плоскость (MBC).

Найдем угол MAH

$$ sin(MAH) = \frac{AH}{MA} $$

$$ V = \frac{1}{3} S_{MBC} \cdot AH $$

$$ AH = \frac{3V}{S_{MBC}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{23}}{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{23}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{46}}{4}$$

$$ sin(MAH) = \frac{\frac{\sqrt{46}}{4}}{3} = \frac{\sqrt{46}}{12} $$

$$ MAH = arcsin(\frac{\sqrt{46}}{12}) $$

Ответ: Угол между ребром МА и плоскостью (МВС) равен $$arcsin(\frac{\sqrt{46}}{12})$$