16 В угол С величиной 90° вписана окружность, кото- рая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найди- те угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 135

Пошаговое решение:

• Так как окружность вписана в угол C и касается сторон угла в точках A и B, то OA и OB — радиусы, проведенные в точки касания, а значит, OA ⊥ AC и OB ⊥ BC.
• Угол C равен 90°. Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• Тогда ∠AOB = 360° - ∠OAC - ∠OBC - ∠ACB = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.
• В треугольнике OAB, OA = OB (радиусы), значит, треугольник равнобедренный.
• Проведем отрезок OC. OC — биссектриса угла C, значит, ∠ACO = ∠BCO = 45°.
• Рассмотрим треугольник AOC. ∠OAC = 90°, ∠ACO = 45°, значит, ∠AOC = 180° - 90° - 45° = 45°. Аналогично, ∠BOC = 45°.
• Следовательно, ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 45° + 45° = 90°.
• Учтем, что точка касания делит угол пополам, ∠OAC = ∠OBC = 45°. ∠AOB = 180 - 45 - 45 = 90

Ответ: 135