В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB. Ответ запишите в градусах.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. Дано: * Угол, образованный сторонами, касающимися окружности, равен 70°. * Точки касания - A и B. * Точка C лежит на одной из дуг окружности. Найти: * Величину угла ACB. Решение: 1. Пусть O - центр окружности. Тогда OA и OB - радиусы, проведенные в точки касания A и B соответственно. Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы OAO' и OBO' равны 90°, где O' - вершина угла, в который вписана окружность. 2. Рассмотрим четырехугольник OAO'B. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, \[\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAO' - \angle OBO' - \angle AO'B = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}.\] 3. Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. По теореме о вписанном и центральном углах, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, если они опираются на одну и ту же дугу. Однако в данном случае угол ACB опирается на *большую* дугу AB. Следовательно, нужно рассмотреть другой вписанный угол, опирающийся на *меньшую* дугу AB. Обозначим этот угол как \(\angle ADB\), где D - точка на окружности, лежащая на другой дуге AB. Тогда \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ}\). 4. Четырехугольник ACBD - вписанный в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Следовательно, \[\angle ACB = 180^{\circ} - \angle ADB = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}.\] Ответ: 125° Развернутый ответ для школьника: Представьте себе окружность, вписанную в угол. Центр этой окружности – точка, от которой до сторон угла, где окружность касается этих сторон, идут равные отрезки (радиусы). Эти радиусы всегда перпендикулярны сторонам угла. Если мы соединим центр окружности с точками касания, а также с вершиной угла, то получим четырехугольник. В этом четырехугольнике два угла всегда будут 90 градусов (так как радиус, проведенный в точку касания, образует прямой угол с касательной). А угол, в который вписана окружность, нам известен – он 70 градусов. Значит, мы можем найти угол, образованный радиусами, идущими из центра окружности к точкам касания (центральный угол). Далее, вспоминаем, что угол, опирающийся на дугу (вписанный угол), равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Но будьте внимательны! У нас точка С находится на другой дуге, поэтому нужно воспользоваться свойством вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов в нем равна 180 градусов. Тогда искомый угол легко находится. Получается 125 градусов.