В7. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁, BB₁ и CC₁, пересекающиеся в точке H. Докажите, что: a) около четырёхугольников CA₁HB₁, AC₁HB, и BA₁HC₁ можно описать окружности; б) около четырёхугольников AB₁A₁B, BC₁B₁C и CA₁C₁A можно описать окружности. В8. Продолжения сторон AB и CD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырёхугольника являются вершинами ромба.

Давайте разберем эти геометрические задачи по порядку. B7: * a) Доказать, что около четырёхугольников CA₁HB₁, AC₁HB и BA₁HC₁ можно описать окружности. Для доказательства того, что вокруг четырехугольника можно описать окружность, достаточно показать, что сумма противоположных углов равна 180 градусам. * Четырехугольник CA₁HB₁: Так как AA₁ и BB₁ - высоты, то углы $$\angle CA₁H = 90^\circ$$ и $$\angle CB₁H = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle CA₁H + \angle CB₁H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, вокруг четырехугольника CA₁HB₁ можно описать окружность. * Четырехугольник AC₁HB: Так как BB₁ и CC₁ - высоты, то углы $$\angle AC₁H = 90^\circ$$ и $$\angle AB₁H = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle AC₁H + \angle AB₁H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, вокруг четырехугольника AC₁HB можно описать окружность. * Четырехугольник BA₁HC₁: Так как AA₁ и CC₁ - высоты, то углы $$\angle BA₁H = 90^\circ$$ и $$\angle BC₁H = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle BA₁H + \angle BC₁H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, вокруг четырехугольника BA₁HC₁ можно описать окружность. * б) Доказать, что около четырёхугольников AB₁A₁B, BC₁B₁C и CA₁C₁A можно описать окружности. * Четырехугольник AB₁A₁B: Так как AA₁ и BB₁ - высоты, то углы $$\angle AB₁B = 90^\circ$$ и $$\angle AA₁B = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle AB₁B + \angle AA₁B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, вокруг четырехугольника AB₁A₁B можно описать окружность. * Четырехугольник BC₁B₁C: Так как BB₁ и CC₁ - высоты, то углы $$\angle BC₁C = 90^\circ$$ и $$\angle BB₁C = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle BC₁C + \angle BB₁C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, вокруг четырехугольника BC₁B₁C можно описать окружность. * Четырехугольник CA₁C₁A: Так как AA₁ и CC₁ - высоты, то углы $$\angle CA₁A = 90^\circ$$ и $$\angle CC₁A = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle CA₁A + \angle CC₁A = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$. Значит, вокруг четырехугольника CA₁C₁A можно описать окружность. B8: Чтобы доказать, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба, нужно воспользоваться свойствами вписанных четырехугольников и биссектрис. 1. Свойства вписанного четырехугольника: Так как ABCD вписан в окружность, то $$\angle A + \angle C = 180^\circ$$ и $$\angle B + \angle D = 180^\circ$$. 2. Углы при пересечении сторон: Рассмотрим углы, образованные при пересечении сторон в точках P и Q. Например, $$\angle P$$ образован продолжениями сторон AB и CD, а $$\angle Q$$ - продолжениями сторон BC и AD. 3. Биссектрисы углов AQB и BPC: Биссектрисы делят углы AQB и BPC пополам. Пусть биссектриса угла AQB пересекает стороны AB и AD в точках X и Y соответственно, а биссектриса угла BPC пересекает стороны BC и CD в точках Z и W соответственно. 4. Равенство углов и сторон: Нужно доказать, что четырехугольник XYZW является ромбом. Для этого нужно показать, что его стороны равны, или что диагонали перпендикулярны и делятся пополам. 5. Использование дополнительных построений и свойств углов: Можно рассмотреть углы, образованные биссектрисами и сторонами четырехугольника ABCD. Используя свойства вписанных углов и углов, образованных при пересечении прямых, можно установить соотношения между углами и доказать равенство соответствующих сторон. *Комментарий*: Это более сложная задача, и для полного доказательства потребуется детальное рассмотрение углов и сторон, а также использование свойств биссектрис и вписанных четырехугольников. Развернутый ответ для школьника: Привет! Сегодня мы разбирали интересные задачи по геометрии. В первой задаче (B7) мы научились доказывать, что вокруг некоторых четырехугольников можно описать окружность. Главное здесь – помнить, что если сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 градусам, то вокруг него можно описать окружность. Мы проверили это для нескольких четырехугольников, используя то, что высоты в треугольнике образуют прямые углы. Во второй задаче (B8) мы начали разбирать, как доказать, что точки пересечения биссектрис углов образуют ромб. Эта задача сложнее и требует знания свойств вписанных четырехугольников и биссектрис. Мы обсудили, что нужно рассмотреть углы, образованные биссектрисами, и использовать свойства вписанных углов, чтобы доказать равенство сторон полученного четырехугольника. Помни, что геометрия – это как пазл, где нужно соединять разные кусочки знаний, чтобы получить решение!