в) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) с катетами a и b медианы пересекаются в точке M. На каком расстоянии от катетов находится точка M?

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) катеты AC = b и BC = a. Медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке M.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Координаты точки A: (0, b). Координаты точки A1: (a/2, 0). Медиана AA1. Точка M делит медиану AA1 в отношении 2:1. Пусть координаты точки M: (x, y).

Тогда $$x = \frac{2 \cdot \frac{a}{2} + 1 \cdot 0}{2 + 1} = \frac{a}{3}$$. $$y = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot b}{2 + 1} = \frac{b}{3}$$.

Следовательно, точка M находится на расстоянии a/3 от катета AC и на расстоянии b/3 от катета BC.

Ответ: Точка M находится на расстоянии $$\frac{a}{3}$$ от катета AC и на расстоянии $$\frac{b}{3}$$ от катета BC.