в) В треугольнике МРК ∠M=30°, ∠P=100°. На стороне МР отмечена точка D так, что ∠DKP=20°. Сравните отрезки MD и DP.

Решение:

В треугольнике MPK:

\( \angle K = 180° - \angle M - \angle P = 180° - 30° - 100° = 50° \).

Точка D лежит на стороне MP.

Рассмотрим треугольник DKP:

\( \angle PDK = 180° - \angle DKP - \angle DPK = 180° - 20° - 100° = 60° \).

Теперь найдем \( \angle MDK \) и \( \angle KDP \).

\( \angle KDP = 180° - \angle PDK = 180° - 60° = 120° \).

\( \angle MDK = 180° - \angle KDP = 180° - 120° = 60° \).

Рассмотрим треугольник MDK:

\( \angle MKD = \angle MKP - \angle DKP = 50° - 20° = 30° \).

Углы в треугольнике MDK:

\( \angle M = 30° \)

\( \angle MKD = 30° \)

\( \angle MDK = 60° \).

Так как \( \angle M = \angle MKD = 30° \), то треугольник MDK равнобедренный с основанием MK. Следовательно, стороны, лежащие против этих углов, равны: \( MD = DK \).

Теперь рассмотрим треугольник DKP:

Углы в треугольнике DKP:

\( \angle DKP = 20° \)

\( \angle DPK = \angle K = 100° \)

\( \angle PDK = 60° \).

В треугольнике DKP, против угла \( \angle PDK = 60° \) лежит сторона KP. Против угла \( \angle DPK = 100° \) лежит сторона DK. Против угла \( \angle DKP = 20° \) лежит сторона DP.

Так как \( \angle DPK > \angle PDK > \angle DKP \) (\( 100° > 60° > 20° \)), то стороны, лежащие против этих углов, также расположены в том же порядке: \( DK > KP > DP \).

Мы уже установили, что \( MD = DK \).

Из неравенства сторон в треугольнике DKP следует, что \( DK > DP \).

Следовательно, \( MD > DP \).

Ответ: MD > DP.