8. В вершинах А и В равнобедренного прямоугольного \(\triangle ABC\) с катетами по 8 см находятся одноименные заряды по \(64 \cdot 10^{-9}\) Кл. Напряженность поля в точке С равна: a) 0 В/м б) \(10^4\) В/м в) \(1,8 \cdot 10^5\) В/м г) \(1,27 \cdot 10^5\) В/м д) \(2,7 \cdot 10^4\) В/м

Решение:

Дано:

• Катеты AB = BC = 8 см = 0,08 м
• Заряды (q_A = q_B = 64 \cdot 10^{-9}) Кл

Найти: Напряженность поля в точке C (E)

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катеты равны. Точка C находится на одинаковом расстоянии от точек A и B. Так как заряды в точках A и B одинаковы и положительны, напряженности полей, создаваемые ими в точке C, будут равны по величине и направлены вдоль AC и BC соответственно.

Напряженность поля, создаваемая точечным зарядом q на расстоянии r, определяется формулой:

$$ E = k \frac{|q|}{r^2} $$

Где:

• (k = 9 \cdot 10^9) Н·м²/Кл² - постоянная Кулона
• (q = 64 \cdot 10^{-9}) Кл
• (r = 0,08) м

Тогда напряженность поля, создаваемая каждым зарядом в точке C:

$$ E_A = E_B = 9 \cdot 10^9 \frac{64 \cdot 10^{-9}}{0.08^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{64 \cdot 10^{-9}}{0.0064} = 9 \cdot 10^4 \frac{64}{6.4} = 9 \cdot 10^4 \cdot 10 = 9 \cdot 10^4 В/м $$

Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, углы при основании (углы A и B) равны 45 градусам. Угол ACB прямой (90 градусов). Напряженности \(E_A\) и \(E_B\) направлены перпендикулярно друг другу. Результирующая напряженность \(E\) является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного векторами \(E_A\) и \(E_B\). По теореме Пифагора:

$$ E = \sqrt{E_A^2 + E_B^2} $$

Так как \(E_A = E_B\), то:

$$ E = \sqrt{2 E_A^2} = E_A \sqrt{2} $$ $$ E = 9 \cdot 10^4 \sqrt{2} \approx 9 \cdot 10^4 \cdot 1.41 \approx 12.69 \cdot 10^4 \approx 1.27 \cdot 10^5 В/м $$

Ответ: г) (1,27 \cdot 10^5) В/м