6. В выпуклом многоугольнике 35 диагоналей. Найдите сумму его углов.

Для решения этой задачи нам понадобится формула для количества диагоналей выпуклого многоугольника и формула для суммы углов выпуклого многоугольника. Количество диагоналей `n`-угольника равно $$ \frac{n(n-3)}{2} $$, где `n` - количество сторон многоугольника. Сумма углов выпуклого `n`-угольника равна $$ (n-2) \cdot 180^{\circ} $$. Сначала найдем количество сторон многоугольника, зная, что количество диагоналей равно 35: $$ \frac{n(n-3)}{2} = 35 $$ $$ n(n-3) = 70 $$ $$ n^2 - 3n - 70 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно `n`. Дискриминант равен: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 $$ Тогда корни: $$ n_1 = \frac{3 + \sqrt{289}}{2} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ n_2 = \frac{3 - \sqrt{289}}{2} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$ Так как количество сторон многоугольника не может быть отрицательным, то `n = 10`. Таким образом, это десятиугольник. Теперь найдем сумму его углов: $$ (n-2) \cdot 180^{\circ} = (10-2) \cdot 180^{\circ} = 8 \cdot 180^{\circ} = 1440^{\circ} $$ Ответ: 1440°