В14 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Question

Accepted Answer

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч), \( u \) — скорость течения реки (км/ч). Известно, что \( u = 1 \) км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( v_{по} = v + u = v + 1 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v - u = v - 1 \) км/ч.

Расстояние до пункта назначения: \( S = 255 \) км.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{255}{v+1} \) часа.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{255}{v-1} \) часа.

Время стоянки: \( t_{стоянки} = 2 \) часа.

Общее время в пути: \( T = t_{по} + t_{стоянки} + t_{против} = 34 \) часа.

\( \frac{255}{v+1} + 2 + \frac{255}{v-1} = 34 \).

\( \frac{255}{v+1} + \frac{255}{v-1} = 34 - 2 = 32 \).

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{255(v-1) + 255(v+1)}{(v+1)(v-1)} = 32 \).

\( \frac{255v - 255 + 255v + 255}{v^2 - 1} = 32 \).

\( \frac{510v}{v^2 - 1} = 32 \).

\( 510v = 32(v^2 - 1) \).

\( 510v = 32v^2 - 32 \).

\( 32v^2 - 510v - 32 = 0 \).

Разделим на 2: \( 16v^2 - 255v - 16 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\( D = (-255)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-16) = 65025 + 1024 = 66049 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{66049} = 257 \).

Найдём корни:

\( v_1 = \frac{255 + 257}{2 \cdot 16} = \frac{512}{32} = 16 \).

\( v_2 = \frac{255 - 257}{2 \cdot 16} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16} \).

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 16 \) км/ч.

Ответ: 16.