В2. Отрезки CD и AB пересекаются в точке O так, что AO = BO, AC параллельна BD. Периметр ΔBOD = 18 см, AB = 12 см, отрезок CO на 2 см короче BD. Найдите длину отрезка AC.

Дано: 1. AO = BO 2. AC || BD 3. Периметр ΔBOD = 18 см 4. AB = 12 см 5. CO = BD - 2 см Найти: AC Решение: 1. Так как AO = BO, то треугольники ΔAOC и ΔBOD подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине O и накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и BD и секущих AB и CD). 2. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = 1\), так как AO = BO. 3. Следовательно, AC = BD. 4. Периметр треугольника ΔBOD равен BD + BO + OD = 18 см. 5. Из условия задачи мы знаем что CO = BD - 2 см. 6. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD. Так как AO = BO и углы при вершине O вертикальные, эти треугольники равнобедренные. Из равенства AO = BO и того, что AC || BD, следует что эти треугольники подобны. Значит, отношения их сторон равны, в том числе AC / BD = AO / BO = 1. 7. Из подобия треугольников следует также, что AC = BD. 8. Пусть BD = x. Тогда CO = x - 2. 9. Так как AO = BO и AB = 12 см, то AO = BO = 6 см. 10. Периметр треугольника ΔBOD равен BD + BO + OD = 18 см. Так как треугольники подобны, то \(\frac{CO}{OD}=\frac{AO}{BO}\), и из AO=BO, следует что CO=OD= x-2. 11. Подставим в уравнение: \(x + 6 + x - 2 = 18\). Отсюда: \(2x + 4 = 18\), \(2x = 14\), \(x = 7\). Значит, BD = 7 см. 12. Так как AC = BD, то AC = 7 см. Ответ: 7