В2. В треугольнике АВС углы В и С относятся как 5: 3, а угол А на 80° больше их разности. Найдите углы, на которые высота треугольника AD разбивает угол А.

Решение:

Пусть \( < B = 5x \) и \( < C = 3x \). Тогда разность углов \( < B - < C = 5x - 3x = 2x \).

Угол А равен \( < A = 80° + 2x \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( < A + < B + < C = 180° \)

\( (80° + 2x) + 5x + 3x = 180° \)

\( 80° + 10x = 180° \)

\( 10x = 100° \)

\( x = 10° \).

Теперь найдём углы треугольника:

\( < B = 5x = 5 · 10° = 50° \)

\( < C = 3x = 3 · 10° = 30° \)

\( < A = 80° + 2x = 80° + 2 · 10° = 100° \).

Высота AD разбивает угол А на два угла: \( < BAD \) и \( < CAD \).

В прямоугольном треугольнике ABD:

\( < BAD = 90° - < B = 90° - 50° = 40° \).

В прямоугольном треугольнике ACD:

\( < CAD = 90° - < C = 90° - 30° = 60° \).

Проверка: \( < BAD + < CAD = 40° + 60° = 100° = < A \).

Ответ: высота AD разбивает угол А на углы 40° и 60°.