В3. Груз, подвешенный на длинной тонкой нити, совершает гармонические колебания. Как изменятся период колебаний, максимальная кинетическая энергия и частота, если массу груза увеличить в 3 раза?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \). Эта формула не зависит от массы груза. Следовательно, период \( T \) не изменится.

Частота колебаний связана с периодом как \( \nu = \frac{1}{T} \). Поскольку период не изменился, частота \( \nu \) также не изменится.

Максимальная кинетическая энергия \( E_{k,max} = \frac{mv_{max}^2}{2} \). Амплитуда колебаний \( A \) для той же силы тяжести и начальных условий не изменится. Скорость \( v = \omega A \cos(\omega t) \), где \( \omega = \frac{2\pi}{T} \). Поскольку \( T \) не изменился, \( \omega \) не изменилась. Максимальная скорость \( v_{max} = \omega A \). Однако, если мы говорим о колебаниях, где амплитуда определяется начальным отклонением, то при увеличении массы, для сохранения той же начальной амплитуды, максимальная кинетическая энергия увеличится пропорционально массе (так как \( E_{k,max} \sim m \cdot A^2 \) при фиксированной \( \omega \)). Если же массу увеличить, а амплитуду сохранить, то кинетическая энергия увеличится в 3 раза.

Важно отметить, что в некоторых контекстах, если речь идет о колебаниях, вызванных начальным отклонением, то максимальная энергия (связанная с кинетической) может зависеть от массы. Если мы говорим о колебаниях, вызванных силой, пропорциональной смещению (как в пружинном маятнике, где \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)), то увеличение массы в 3 раза увеличит период в \( \sqrt{3} \) раза, а частоту уменьшит во столько же. Но здесь речь идет о нитяном маятнике, где период не зависит от массы.

Исходя из стандартного понимания задачи про математический маятник:

• Период: не изменится.
• Частота: не изменится.
• Максимальная кинетическая энергия: увеличится (при условии сохранения амплитуды, что является стандартным предположением, когда не указано иное).

Если считать, что амплитуда сохраняется при увеличении массы, то максимальная кинетическая энергия будет пропорциональна массе, то есть увеличится в 3 раза.

Ответ: А-3, Б-3, В-1.