В3. Из шахты подняли клеть с углём со скоростью 2 м/с. Вычисли КПД подъёмника, если масса клети — 4 т, а масса угля — 3,9 т.

Решение:

Дано:

• Масса клети: \( m_{клети} = 4 \text{ т} = 4000 \text{ кг} \)
• Масса угля: \( m_{угля} = 3.9 \text{ т} = 3900 \text{ кг} \)
• Скорость подъема: \( v = 2 \text{ м/с} \)
• Ускорение свободного падения: \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \)

Найти:

• КПД: \( \eta \)

Решение:

Общая масса поднимаемого груза (клеть + уголь):

\[ m_{общая} = m_{клети} + m_{угля} = 4000 \text{ кг} + 3900 \text{ кг} = 7900 \text{ кг} \]

Работа полезная (подъем угля):

Для расчета полезной работы нам нужна высота подъема. Скорость дана, но время подъема нет, поэтому невозможно рассчитать полезную работу напрямую, если не известна высота. Будем считать, что подъем на некоторую высоту \( h \).

\[ A_{полезная} = m_{угля} \cdot g \cdot h = 3900 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot h = 39000 \cdot h \text{ Дж} \]

Работа полная (подъем клети с углем):

\[ A_{полная} = m_{общая} \cdot g \cdot h = 7900 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot h = 79000 \cdot h \text{ Дж} \]

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы к полной работе:

\[ \eta = \frac{A_{полезная}}{A_{полная}} \cdot 100\% \]

Подставим выражения для работы:

\[ \eta = \frac{39000 \cdot h}{79000 \cdot h} \cdot 100\% \]

Высота \( h \) сокращается:

\[ \eta = \frac{39000}{79000} \cdot 100\% = \frac{39}{79} \cdot 100\% \approx 0.4937 \cdot 100\% \approx 49.4\% \]

Примечание: Скорость подъема (2 м/с) не использовалась для расчета КПД, если не дана высота или время подъема. Предполагается, что подъем происходит на некоторую фиксированную высоту.

Ответ: КПД подъёмника составляет приблизительно 49.4%.