В4. Множество \(A\cap\overline{B}\) обозначают \(A\setminus B\) и называют разностью множеств \(A\) и \(B\). Это множество состоит из всех элементов множества \(A\), которые не являются элементами множества \(B\). Докажите тождества: а) \(A\setminus\overline{B}=A\cap B\); б) \(\overline{A}\setminus B=\overline{A\cup B}\).

а) По определению разности множеств:

\(A\setminus\overline{B}=A\cap\overline{\overline{B}}\).

Дополнение дополнения множества \(B\) равно самому множеству \(B\), поэтому \(A\setminus\overline{B}=A\cap B\).

б) По определению разности множеств:

\(\overline{A}\setminus B=\overline{A}\cap\overline{B}\).

По закону де Моргана \(\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}\). Следовательно, \(\overline{A}\setminus B=\overline{A\cup B}\).