18. Ваня и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Ваня думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Ваня делает так: $$\frac{4}{6} = \frac{4-2}{6-3} = \frac{2}{3}$$. Аня считает, что нужно от числителя отнять 1, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: $$\frac{2}{4} = \frac{2-1}{4-2} = \frac{1}{2}$$. Ваня и Аня (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь $$\frac{2019}{2018}$$ по своим правилам и получили дробь с числителем 1992. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Пусть $$a_n$$ - числитель дроби после $$n$$-го сокращения, $$b_n$$ - знаменатель дроби после $$n$$-го сокращения. Тогда $$a_0 = 2019$$, $$b_0 = 2018$$. Ваня: $$a_{n+1} = a_n - 2$$, $$b_{n+1} = b_n - 3$$. Аня: $$a_{n+1} = a_n - 1$$, $$b_{n+1} = b_n - 2$$. Пусть Ваня сделал $$x$$ сокращений, а Аня $$y$$ сокращений. Тогда $$x + y = 20$$. После $$x$$ сокращений Ваней и $$y$$ сокращений Аней, числитель стал равен 1992, т.е.: $$a_{x+y} = a_0 - 2x - y = 2019 - 2x - y = 1992$$. Отсюда $$2x + y = 2019 - 1992 = 27$$. Учитывая, что $$x + y = 20$$, вычтем второе уравнение из первого: $$2x + y - (x + y) = 27 - 20$$, т.е. $$x = 7$$. Тогда $$y = 20 - x = 20 - 7 = 13$$. Знаменатель после сокращений будет равен: $$b_{x+y} = b_0 - 3x - 2y = 2018 - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 13 = 2018 - 21 - 26 = 2018 - 47 = 1971$$. **Ответ: 1971**