Вариант 1 -1 1. 4$$\int\limits_{-2}^{-1} \frac{dx}{x^4}$$. 2. 5 $$\int\limits_{0}^{1} [x^2+(x-3)^3] dx.$$ 3. 4$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin 2x dx.$$ 4. 4$$\int\limits_{1}^{4} (\sqrt{x}+\frac{1}{x+1})dx.$$ In 2 5. 5$$\int\limits_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx.$$ 6. 6$$\int\limits_{-1}^{0} (x+1)(x^2+2x-3)dx.$$ 1- ハル+2x-3)dx.

Я вижу шесть заданий, каждое из которых представляет собой вычисление определенного интеграла. Решим их по порядку: 1. $$\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x^4} = \int_{-2}^{-1} x^{-4} dx = \left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_{-2}^{-1} = \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_{-2}^{-1} = -\frac{1}{3(-1)^3} - \left( -\frac{1}{3(-2)^3} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{24} = \frac{8}{24} - \frac{1}{24} = \frac{7}{24}$$ 2. $$\int_{0}^{1} [x^2 + (x-3)^3] dx = \int_{0}^{1} [x^2 + x^3 - 9x^2 + 27x - 27] dx = \int_{0}^{1} [x^3 - 8x^2 + 27x - 27] dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + \frac{27x^2}{2} - 27x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{8}{3} + \frac{27}{2} - 27 = \frac{3 - 32 + 162 - 324}{12} = \frac{-191}{12}$$ 3. $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos(\pi) - \left( -\frac{1}{2} \cos(0) \right) = -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ 4. $$\int_{1}^{4} (\sqrt{x} + \frac{1}{x+1}) dx = \int_{1}^{4} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x+1}) dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \ln|x+1| \right]_{1}^{4} = \left( \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}} + \ln(4+1) \right) - \left( \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} + \ln(1+1) \right) = \frac{2}{3} (8) + \ln(5) - \frac{2}{3} - \ln(2) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} + \ln(5) - \ln(2) = \frac{14}{3} + \ln(\frac{5}{2})$$ 5. $$\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2} e^{2 \ln 2} - \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1}{2} e^{\ln 4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (4) - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ 6. $$\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2+2x-3) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + 2x^2 - 3x + x^2 + 2x - 3) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + 3x^2 - x - 3) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} - 1 - \frac{1}{2} + 3 \right) = - \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{-1 + 6 - 8}{4} = -\frac{3}{4}$$ Таким образом, ответы: 1. $$\frac{7}{24}$$ 2. $$\frac{-191}{12}$$ 3. $$1$$ 4. $$\frac{14}{3} + \ln(\frac{5}{2})$$ 5. $$\frac{3}{2}$$ 6. $$\frac{-3}{4}$$