Вариант № 4166282 1. В классе 20 учащихся. 10 из них после школы ходят в спортивную секцию, а 8 человек посещают музыкальную школу. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера. 1) Меньше 9 учащихся и ходят в спортивную секцию, и посещают музыкальную школу. 2) Найдётся 2 учащихся, которые не ходят в спортивную секцию и не посещают музыкальную школу. 3) Найдётся 9 учащихся, которые и посещают музыкальную школу, и ходят в спортивную секцию. 4) Каждый учащийся, который ходит в спортивную секцию, посещает музыкальную школу.

Рассмотрим задачу по теории множеств. Пусть:

• $$A$$ - множество учащихся, посещающих спортивную секцию.
• $$B$$ - множество учащихся, посещающих музыкальную школу.

Дано:

• $$|U| = 20$$ (общее число учащихся).
• $$|A| = 10$$.
• $$|B| = 8$$.

Нужно выбрать верные утверждения.

1. Меньше 9 учащихся и ходят в спортивную секцию, и посещают музыкальную школу.

Оценим количество учащихся, посещающих обе секции. Пусть $$x$$ - количество учащихся, посещающих обе секции. Тогда количество учащихся, посещающих только спортивную секцию: $$10 - x$$, а только музыкальную: $$8 - x$$. Общее количество учащихся: $$(10 - x) + (8 - x) + x = 20$$. Отсюда $$18 - x \le 20$$, значит, $$x \ge -2$$ (что очевидно, так как x не может быть отрицательным), но ничего не говорит о максимальном значении $$x$$. Наибольшее возможное количество учащихся, посещающих обе секции, равно 8 (все посещающие музыкальную школу посещают и спортивную). В этом случае: $$x \le 8 < 9$$. Утверждение может быть верным. Проверим, может ли утверждение быть неверным. Предположим, что спортивную секцию посещают 10 человек, музыкальную 8 человек и больше никто никуда не ходит. Тогда количество тех, кто посещает обе секции 10+8-20 = -2. Получается, есть те, кто ходят и туда, и туда, и их количество должно быть меньше 9. Утверждение неверно, так как $$x$$ может быть и больше 9. Следовательно, утверждение 1 не всегда верно.

2. Найдётся 2 учащихся, которые не ходят в спортивную секцию и не посещают музыкальную школу.

Предположим, что каждый учащийся посещает хотя бы одну секцию. Тогда количество учащихся, посещающих хотя бы одну секцию, равно $$10 + 8 - x = 18 - x$$, где $$x$$ - количество учащихся, посещающих обе секции. Так как $$x \ge 0$$, то $$18 - x \le 18$$. В классе 20 учащихся, значит, хотя бы $$20 - (18 - x) = 2 + x$$ ученика не посещают ни одной секции. Так как $$x \ge 0$$, то $$2 + x \ge 2$$. Значит, найдется как минимум 2 ученика, не посещающих ни одну секцию. Утверждение верно.

3. Найдётся 9 учащихся, которые и посещают музыкальную школу, и ходят в спортивную секцию.

Как было показано ранее, $$x$$ - количество учащихся, посещающих обе секции. Максимальное значение $$x = 8$$. Значит, не найдется 9 учащихся, посещающих обе секции. Утверждение неверно.

4. Каждый учащийся, который ходит в спортивную секцию, посещает музыкальную школу.

Это неверно, так как максимально $$x=8$$. То есть, 2 ученика ходят только в спортивную секцию. Утверждение неверно.

Ответ: 2