Вариант № 2 1. Вычислите: a) log₁ 7; log₇ 49; log₇ 7; log₇ 343; log₇ 1; log₇ (-7) б) log₂ 18+log₂ 4/9 (log₈ 2) / (log₈ 32); (log₂ 8) / (log₂ 16) 2. Найдите x: log₂x = 1/2 log₂ 16 + log₂ 18 - 2log₂ 3 3. Найдите область определения функции: a) log₁/₅ (5-x) б) y=log₉ (x² - 36) в) y = log₀.₂ (x²-4x + 6)

1. Вычислите:

a)

• $$log_7 7 = 1$$
• $$log_7 49 = log_7 7^2 = 2$$
• $$log_7 7 = 1$$
• $$log_7 343 = log_7 7^3 = 3$$
• $$log_7 1 = 0$$
• $$log_7 (-7)$$ - не существует, так как логарифм определён только для положительных чисел.

б)

$$log_2 18 + log_2 \frac{4}{9} = log_2 (18 \cdot \frac{4}{9}) = log_2 (2 \cdot 4) = log_2 8 = 3$$

$$\frac{log_8 2}{log_8 32} = \frac{log_8 2}{log_8 2^5} = \frac{log_8 2}{5 log_8 2} = \frac{1}{5}$$

$$\frac{log_2 8}{log_2 16} = \frac{log_2 2^3}{log_2 2^4} = \frac{3}{4}$$

2. Найдите x:

$$log_2 x = \frac{1}{2} log_2 16 + log_2 18 - 2 log_2 3$$

$$log_2 x = log_2 16^{\frac{1}{2}} + log_2 18 - log_2 3^2$$

$$log_2 x = log_2 4 + log_2 18 - log_2 9$$

$$log_2 x = log_2 (4 \cdot 18 / 9)$$

$$log_2 x = log_2 (4 \cdot 2)$$

$$log_2 x = log_2 8$$

$$x = 8$$

3. Найдите область определения функции:

a) $$y = log_{\frac{1}{5}} (5-x)$$

Область определения логарифмической функции: аргумент должен быть больше 0. Также основание должно быть больше 0 и не равно 1.

$$5 - x > 0$$

$$x < 5$$

ОДЗ: $$x \in (-\infty; 5)$$.

б) $$y = log_9 (x^2 - 36)$$

$$x^2 - 36 > 0$$

$$(x - 6)(x + 6) > 0$$

Решаем методом интервалов:

• $$x < -6$$
• $$x > 6$$

ОДЗ: $$x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$$.

в) $$y = log_{0.2} (x^2 - 4x + 6)$$

$$x^2 - 4x + 6 > 0$$

Найдём дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$$

Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $$x^2$$ положительный, то парабола находится выше оси x для всех x.

ОДЗ: $$x \in (-\infty; +\infty)$$.