Решение задач Варианта 1

Задача 1

Пусть дан параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, и угол BEC равен 48°.

Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD. Обозначим эти углы за x.

Угол BEA является внешним углом для параллелограмма и равен углу ABE. Следовательно, ∠ABE = 48°.

В треугольнике ABE, ∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°. Таким образом, x + 48° + ∠AEB = 180°.

Так как ∠AEB и ∠BEC смежные, то ∠AEB = 180° - 48° = 132°.

Теперь находим x: x + 48° + 132° = 180°, откуда x = 180° - 48° - 132° = 0°. Это невозможно, так как угол не может быть равен 0°.

Ошибка в условии или в интерпретации условия. Предположим, что угол между биссектрисой и стороной параллелограмма равен 48°, и это угол ABE. Тогда решение следующее:

Если ∠ABE = 48°, то ∠A = 2 * ∠BAE.

Сумма углов A и B в параллелограмме равна 180°, поэтому ∠A + ∠B = 180°.

Заменим ∠A на 2x: 2x + 48° = 180°.

Отсюда 2x = 180° - 48° = 132°, и x = 66°.

Значит, ∠A = 2 * 66° = 132°.

∠B = 48°.

∠C = ∠A = 132°.

∠D = ∠B = 48°.

Углы параллелограмма: ∠A = 132°, ∠B = 48°, ∠C = 132°, ∠D = 48°.

Задача 2

Дано: параллелограмм MPKC, биссектриса угла M пересекает сторону PK в точке B, MP = 14 см, BK = 15 см.

Найти: периметр параллелограмма MPKC.

Так как MB - биссектриса угла M, то ∠PMB = ∠BMK.

Угол PMB равен углу MBK как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых MP и KC и секущей PK. Следовательно, ∠PMB = ∠MBK.

Таким образом, ∠BMK = ∠MBK, а значит, треугольник MBK - равнобедренный, и MK = BK = 15 см.

Периметр параллелограмма равен 2 * (MP + MK) = 2 * (14 + 15) = 2 * 29 = 58 см.

Периметр параллелограмма MPKC равен 58 см.