ВАРИАНТ №2 1. Что такое область определения и область значений функции? Привести примеры. 2. Функция у корень степени и (п-четное), ее свойства и график.

1. Что такое область определения и область значений функции? Привести примеры.

Область определения функции (или область допустимых значений, ОДЗ) – это множество всех допустимых значений аргумента (независимой переменной) x, при которых функция определена, то есть для которых можно вычислить значение функции f(x).

Область значений функции – это множество всех значений, которые принимает функция f(x) при всех значениях аргумента x из области определения.

Примеры:

1. Функция $$f(x) = \frac{1}{x}$$.

   Область определения: все действительные числа, кроме 0. Это можно записать так: $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$ или $$(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$.

   Область значений: также все действительные числа, кроме 0: $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$ или $$(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$.

2. Функция $$f(x) = \sqrt{x}$$.

   Область определения: все неотрицательные действительные числа: $$[0; +\infty)$$.

   Область значений: также все неотрицательные действительные числа: $$[0; +\infty)$$.

3. Функция $$f(x) = x^2$$.

   Область определения: все действительные числа: $$(-\infty; +\infty)$$.

   Область значений: все неотрицательные действительные числа: $$[0; +\infty)$$.

2. Функция $$y = \sqrt[n]{x}$$, где n – четное число, ее свойства и график.

Рассмотрим функцию $$y = \sqrt[n]{x}$$, где n – четное натуральное число (например, n = 2, 4, 6 и т.д.).

Свойства функции:

• Область определения: $$x \geq 0$$, то есть $$[0; +\infty)$$.

• Область значений: $$y \geq 0$$, то есть $$[0; +\infty)$$.

• Функция возрастает на всей области определения.

• График функции проходит через точку (0, 0) и точку (1, 1).

• Функция не является ни четной, ни нечетной (за исключением случая n=0, который не рассматриваем).

Пример графика функции $$y = \sqrt[4]{x}$$: