Вариант 2 1. Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -32, а знаменатель равен 0,5 а) Найдите ее шестой член. б) Найдите сумму ее первых семи членов. 2. Арифметическая прогрессия (ап} задана формулой п-го члена ап = 7 + 3п. Найдите сумму ее первых двадцати членов. 3. Геометрическая прогрессия задана условиями с₁ = 2, Сп-1 = -3сп. Найдите С4. 4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ... ; 12; x; 6; 3; .... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 5. Является ли число -13 членом арифметической прогрессии, второй член которой равен 32, а шестой равен 20? Если да, то определите номер этого члена.

Давайте решим каждое задание по порядку. 1. Геометрическая прогрессия: * Первый член: $$b_1 = -32$$ * Знаменатель: $$q = 0.5$$ или $$\frac{1}{2}$$ a) Найдем шестой член ($$b_6$$): Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$ $$b_6 = -32 * (0.5)^{6-1} = -32 * (0.5)^5 = -32 * \frac{1}{32} = -1$$ Ответ: Шестой член равен -1. b) Найдем сумму первых семи членов ($$S_7$$): Формула для суммы n первых членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1 * (1 - q^n)}{1 - q}$$ $$S_7 = \frac{-32 * (1 - (0.5)^7)}{1 - 0.5} = \frac{-32 * (1 - \frac{1}{128})}{0.5} = \frac{-32 * \frac{127}{128}}{0.5} = -64 * \frac{127}{128} = -\frac{127}{2} = -63.5$$ Ответ: Сумма первых семи членов равна -63.5. 2. Арифметическая прогрессия: * Формула n-го члена: $$a_n = 7 + 3n$$ Найдем сумму первых двадцати членов ($$S_{20}$$): $$a_1 = 7 + 3*1 = 10$$ $$a_{20} = 7 + 3*20 = 67$$ Формула для суммы n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n$$ $$S_{20} = \frac{10 + 67}{2} * 20 = \frac{77}{2} * 20 = 77 * 10 = 770$$ Ответ: Сумма первых двадцати членов равна 770. 3. Геометрическая прогрессия: * $$c_1 = 2$$ * $$c_{n-1} = -3c_n$$ (Из этого следует, что $$c_n = -\frac{1}{3}c_{n-1}$$, то есть $$q = -\frac{1}{3}$$) Найдем $$c_4$$: $$c_2 = c_1 * q = 2 * (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}$$ $$c_3 = c_2 * q = -\frac{2}{3} * (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}$$ $$c_4 = c_3 * q = \frac{2}{9} * (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{27}$$ Ответ: $$c_4 = -\frac{2}{27}$$ 4. Арифметическая прогрессия: Дано: ... ; 12; x; 6; 3; ... Так как это арифметическая прогрессия, разность между соседними членами постоянна. Обозначим разность как d. Тогда: $$6 - x = 3 - 6$$ $$6 - x = -3$$ $$x = 6 + 3 = 9$$ Ответ: x = 9 5. Арифметическая прогрессия: * $$a_2 = 32$$ * $$a_6 = 20$$ Формула n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$a_6 = a_2 + 4d$$ $$20 = 32 + 4d$$ $$4d = -12$$ $$d = -3$$ Найдем $$a_1$$: $$a_2 = a_1 + d$$ $$32 = a_1 - 3$$ $$a_1 = 35$$ Проверим, является ли -13 членом этой прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$-13 = 35 + (n-1)(-3)$$ $$-13 = 35 - 3n + 3$$ $$-13 = 38 - 3n + 3$$ $$3n = 35 + 3 + 13$$ $$3n = 51$$ $$n = 17$$ Так как n - целое число, -13 является членом данной арифметической прогрессии. Ответ: Да, число -13 является 17-м членом арифметической прогрессии.