Решение:

1. Доказательство ΔABD = ΔCBD

Дано: ∠1 = ∠2, AB = BC.

Доказать: ΔABD = ΔCBD.

1. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD.
2. AB = BC (по условию).
3. ∠ABD = ∠CBD (по условию ∠1 = ∠2).
4. BD - общая сторона.

Следовательно, ΔABD = ΔCBD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Доказательство ΔAOC = ΔBOD и нахождение AC

Дано: AB = CD, AO = OB, CO = OD, BD = 12 см.

Доказать: ΔAOC = ΔBOD.

Найти: AC.

1. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD.
2. AO = OB (по условию).
3. CO = OD (по условию).
4. ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы).

Следовательно, ΔAOC = ΔBOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как ΔAOC = ΔBOD, то AC = BD как соответственные стороны равных треугольников.

По условию BD = 12 см, значит, AC = 12 см.

Ответ: AC = 12 см.