ВАРИАНТ 21 1. Диагональ куба равна 6см. Найдите ребро куба, его объем и площадь полной поверхности. 2. Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ осевого сечения – 10 см . Найдите площадь полной поверхности и объем данного цилиндра. 3. Осевое сечение конуса– правильный треугольник со стороной 4 см. Найдите: а) площадь осевого сечения этого конуса: б) площадь полной поверхности конуса.

## Решение задач по геометрии **Задача 1: Куб** Дано: Диагональ куба $$d = 6$$ см. Найти: Ребро куба $$a$$, объем куба $$V$$, площадь полной поверхности $$S$$. *Решение:* 1. Связь между диагональю куба и его ребром: Диагональ куба $$d = a\sqrt{3}$$, где $$a$$ - ребро куба. 2. Найдем ребро куба: $$a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ см. 3. Объем куба: $$V = a^3 = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$ см$$^3$$. 4. Площадь полной поверхности куба: $$S = 6a^2 = 6(2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$$ см$$^2$$. *Ответ:* Ребро куба $$a = 2\sqrt{3}$$ см, объем куба $$V = 24\sqrt{3}$$ см$$^3$$, площадь полной поверхности $$S = 72$$ см$$^2$$. **Задача 2: Цилиндр** Дано: Высота цилиндра $$h = 8$$ см, диагональ осевого сечения $$d = 10$$ см. Найти: Площадь полной поверхности $$S$$, объем цилиндра $$V$$. *Решение:* 1. Найдем радиус основания цилиндра: Осевое сечение цилиндра - прямоугольник. По теореме Пифагора: $$d^2 = h^2 + (2r)^2$$, где $$r$$ - радиус основания. $$10^2 = 8^2 + (2r)^2$$ $$100 = 64 + 4r^2$$ $$4r^2 = 36$$ $$r^2 = 9$$ $$r = 3$$ см. 2. Площадь полной поверхности цилиндра: $$S = 2\pi r(r + h) = 2\pi \cdot 3(3 + 8) = 6\pi \cdot 11 = 66\pi$$ см$$^2$$. 3. Объем цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi$$ см$$^3$$. *Ответ:* Площадь полной поверхности $$S = 66\pi$$ см$$^2$$, объем цилиндра $$V = 72\pi$$ см$$^3$$. **Задача 3: Конус** Дано: Осевое сечение - правильный треугольник со стороной $$a = 4$$ см. Найти: а) площадь осевого сечения $$S_{сеч}$$, б) площадь полной поверхности конуса $$S$$. *Решение:* а) Площадь осевого сечения (правильного треугольника): Так как осевое сечение - правильный треугольник, то его сторона равна образующей конуса и диаметру основания конуса. Значит, радиус основания $$r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ см, а высота $$h = \sqrt{a^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ см. Площадь осевого сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см$$^2$$. б) Площадь полной поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса $$S = \pi r(r + l)$$, где $$l$$ - образующая конуса, $$r$$ - радиус основания. В нашем случае $$l = a = 4$$ см, $$r = 2$$ см. $$S = \pi \cdot 2(2 + 4) = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi$$ см$$^2$$. *Ответ:* а) $$S_{сеч} = 4\sqrt{3}$$ см$$^2$$, б) $$S = 12\pi$$ см$$^2$$.