Вариант 1, К-8 (§ 11, 12) •1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах? •2. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9? •3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг. Сколькими способами он может осуществить этот выбор? •4. В ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, ..., 25. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер этого шара будет простым числом? 5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать? 6. На четырех карточках написаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится число, большее 7000? Вариант 2, К-8 (§ 11, 12) •1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторения цифр? •2. Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать троих для участия в городской олимпиаде. Сколькими способами можно сделать этот выбор? •3. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?

Решения: Вариант 1 1. Эта задача на перестановки. У нас есть 5 человек, и 5 мест. Количество способов их рассадить равно числу перестановок из 5 элементов, то есть 5!. $$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$. Ответ: 120 способов 2. Нам нужно составить трехзначные числа из цифр 1, 2, 5, 7, 9 без повторений. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – 4 способами, и третью – 3 способами. Тогда общее количество чисел равно: $$5 \times 4 \times 3 = 60$$. Ответ: 60 чисел 3. Нам нужно выбрать 2 книги из 10. Это задача на сочетания. Количество способов выбрать 2 книги из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2: $$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$$. Ответ: 45 способов 4. Всего в ящике 25 шаров с номерами от 1 до 25. Нужно найти вероятность того, что вытащенный шар имеет простой номер. Простые числа от 1 до 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Всего 9 простых чисел. Вероятность равна отношению количества простых чисел к общему числу шаров: $$P = \frac{9}{25} = 0.36$$. Ответ: 0.36 5. Нам нужно выбрать 3 мальчиков из 8 и 2 девочек из 5. Это задача на сочетания. Количество способов выбрать 3 мальчиков из 8 равно $$C_8^3$$, а количество способов выбрать 2 девочек из 5 равно $$C_5^2$$. $$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$. $$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$. Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов выбора мальчиков и девочек: $$56 \times 10 = 560$$. Ответ: 560 способов 6. Всего можно составить $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ различных четырехзначных числа из цифр 1, 3, 5, 7. Нам нужно найти вероятность того, что число больше 7000. Число будет больше 7000, если первая цифра равна 7. Тогда остаются 3 цифры для оставшихся 3 мест. Количество таких чисел равно $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$. Вероятность равна отношению количества чисел больше 7000 к общему количеству чисел: $$P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$$. Ответ: 0.25 Вариант 2 1. Нам нужно составить шестизначные числа из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторений. Это задача на перестановки. Количество способов их расставить равно числу перестановок из 6 элементов, то есть 6!. $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$. Ответ: 720 чисел 2. Нам нужно выбрать 3 ученика из 8. Это задача на сочетания. Количество способов выбрать 3 ученика из 8 равно числу сочетаний из 8 по 3: $$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$. Ответ: 56 способов 3. Нам нужно выбрать дежурного и его помощника из 15 туристов. Это задача на размещение. Количество способов выбрать дежурного и его помощника из 15 туристов равно числу размещений из 15 по 2: $$A_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)!} = \frac{15!}{13!} = 15 \times 14 = 210$$. Ответ: 210 способов