Вариант 3. Комбинированный (трапеция + треугольники) 1. В трапеции KLMN (KL || MN) угол К = 90°, KL = 6 см, MN = 10 см, KN = 8 см. Найдите угол N. 2. В треугольнике PQR точки А, В, С — середины сторон PQ, QR, RP соответственно. Периметр ДАВС равен 15 см. Найдите периметр APQR. 3. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Основание равно 12 см, боковая сторона 8 см. Найдите периметр трапеции. 4. В треугольнике XYZ средняя линия АВ параллельна YZ и равна 7 см. Найдите YZ. 5. В трапеции EFGH (EF || GH) средняя линия равна 9 см, а разность оснований составляет 6 см. Найдите длины оснований.

1. В трапеции KLMN (KL || MN), где угол K = 90°, KL = 6 см, MN = 10 см, KN = 8 см, нужно найти угол N. Для начала найдем тангенс угла N. В прямоугольной трапеции KLMN можно опустить высоту LP на основание MN. Тогда получим прямоугольный треугольник LPN, в котором LP = KN = 8 см и PN = MN - KL = 10 - 6 = 4 см. $$tg(N) = \frac{LP}{PN} = \frac{8}{4} = 2$$ Теперь найдем угол N, взяв арктангенс от 2: $$N = arctg(2) \approx 63.43 \deg$$ Ответ: Угол N ≈ 63.43°. 2. В треугольнике PQR точки A, B, C - середины сторон PQ, QR, RP соответственно. Периметр \(\triangle ABC\) равен 15 см. Найдите периметр \(\triangle PQR\). Так как точки A, B, C - середины сторон треугольника PQR, то AB, BC и AC являются средними линиями этого треугольника. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Следовательно: $$AB = \frac{1}{2}PR$$, $$BC = \frac{1}{2}PQ$$, $$AC = \frac{1}{2}QR$$. Периметр треугольника ABC равен: $$P_{ABC} = AB + BC + AC = \frac{1}{2}PR + \frac{1}{2}PQ + \frac{1}{2}QR = \frac{1}{2}(PR + PQ + QR) = 15$$ см. Периметр треугольника PQR равен: $$P_{PQR} = PQ + QR + PR = 2 \cdot P_{ABC} = 2 \cdot 15 = 30$$ см. Ответ: Периметр \(\triangle PQR\) равен 30 см. 3. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Основание равно 12 см, боковая сторона — 8 см. Найдите периметр трапеции. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD = 12 см - большее основание, AB = CD = 8 см - боковые стороны. Диагональ AC является биссектрисой угла A. Так как AC - биссектриса угла A, то \(\angle BAC = \angle CAD\). Поскольку ABCD - трапеция, то BC || AD, и \(\angle CAD = \angle BCA\) как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\), а значит, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC = 8 см. Таким образом, BC = 8 см - меньшее основание трапеции. Периметр трапеции равен: $$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 12 = 36$$ см. Ответ: Периметр трапеции равен 36 см. 4. В треугольнике XYZ средняя линия AB параллельна YZ и равна 7 см. Найдите YZ. Средняя линия треугольника равна половине основания, которому она параллельна. Значит, YZ = 2 * AB = 2 * 7 = 14 см. Ответ: YZ = 14 см. 5. В трапеции EFGH (EF || GH) средняя линия равна 9 см, а разность оснований составляет 6 см. Найдите длины оснований. Пусть EF = a, GH = b. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть: $$\frac{a+b}{2} = 9$$ Разность оснований составляет 6 см, то есть: $$b - a = 6$$ Решим систему уравнений: $$\begin{cases} a+b = 18 \\ b - a = 6 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2b = 24 \Rightarrow b = 12$$ Тогда: $$a = 18 - b = 18 - 12 = 6$$ Ответ: Длины оснований: EF = 6 см, GH = 12 см.