Вариант 2 1. $$MN$$ и $$MK$$ – отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 5 см. Найдите $$MN$$ и $$MK$$, если $$MO = 13$$ см. 2. Дано: $$AB : AC = 5 : 3$$ (рис. 8.179). Найдите: $$\angle BOC$$, $$\angle ABC$$. 3. Хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$F$$ так, что $$AF = 4$$ см, $$BF = 16$$ см, $$CF = DF$$. Найдите $$CD$$. 4*. Окружность с центром $$O$$ и радиусом 12 см описана около треугольника $$MNK$$ так, что $$\angle MON = 120°$$, $$\angle NOK = 90°$$. Найдите стороны $$MN$$ и $$NK$$ треугольника.

К сожалению, я не могу предоставить полные решения задач без дополнительных данных и конкретных вопросов по каждой задаче. Однако, я могу дать общие рекомендации по решению этих задач: Задача 1:

Поскольку $$MN$$ и $$MK$$ - касательные к окружности, то отрезки $$MO$$ являются гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного радиусом, касательной и отрезком $$MO$$. Используйте теорему Пифагора для нахождения длин касательных.

Решение:

Пусть $$r$$ - радиус окружности, тогда $$r = 5$$ см. Пусть $$MN = MK = x$$ (т.к. касательные, проведенные из одной точки, равны). $$MO = 13$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MNO$$, где $$O$$ - центр окружности. По теореме Пифагора:

$$MN^2 + NO^2 = MO^2$$ $$x^2 + 5^2 = 13^2$$ $$x^2 + 25 = 169$$ $$x^2 = 144$$ $$x = \sqrt{144} = 12$$

Таким образом, $$MN = MK = 12$$ см.

Ответ: $$MN = MK = 12$$ см Задача 2:

Зная отношение сторон треугольника $$AB:AC$$, можно сделать вывод о его углах. Для нахождения $$\angle BOC$$ и $$\angle ABC$$ потребуется дополнительная информация об углах треугольника или соотношениях между ними. Без дополнительных данных решить задачу невозможно.

Задача 3:

Используйте теорему о пересекающихся хордах. Если две хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$F$$, то $$AF cdot FB = CF cdot FD$$. Так как $$CF = DF$$, можно найти их значение, а затем и длину хорды $$CD$$.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах:

$$AF \cdot FB = CF \cdot FD$$

Дано $$AF = 4$$ см, $$BF = 16$$ см и $$CF = DF$$. Обозначим $$CF = DF = x$$. Тогда:

$$4 \cdot 16 = x \cdot x$$ $$64 = x^2$$ $$x = \sqrt{64} = 8$$

Итак, $$CF = DF = 8$$ см. Длина хорды $$CD$$ равна:

$$CD = CF + FD = 8 + 8 = 16$$ Ответ: $$CD = 16$$ см Задача 4*:

В этой задаче окружность описана около треугольника $$MNK$$. Известны углы $$\angle MON = 120°$$ и $$\angle NOK = 90°$$. Чтобы найти стороны $$MN$$ и $$NK$$, необходимо использовать теорему синусов или косинусов, но для этого нужны дополнительные данные об углах или сторонах треугольника. Например, можно найти $$\angle MOK = 360° - 120° - 90° = 150°$$, но этого недостаточно для нахождения сторон без дополнительных данных.