Вариант 1 1. На рисунке 271 точка О – центр окружности, ∠AOC = 50°. Найдите угол BCO. 2. Через концы диаметра AB окружности с центром O проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC. 3. Какие из точек на рис 58 принадлежат окружности с центром O? 4. В окружности с центром в точке O провели диаметр AB и хорду BC так, что угол ABC равен 32°. Найдите градусную меру угла AOC. Вариант 2 1. На рисунке 280 точка О – центр окружности, ∠ABO = 40°. Найдите угол BOC. 2. В окружности с центром O провели диаметры MN и PK (рис. 281). Докажите, что MK || PN. 3. Какие из точек на рис 58 принадлежат кругу с центром O? 4. В окружности с центром в точке M провели диаметр RN и хорду NP так, что угол RNP равен 96°. Найдите градусную меру угла MNP.

## Решение задач по геометрии (окружность и круг) Здравствуйте, ребята! Давайте разберем задачи, представленные на рисунке. ### Вариант 1 #### Задача 1 Дано: О – центр окружности, ∠AOC = 50°. Найти: ∠BCO. Решение: 1. Треугольник AOC – равнобедренный, так как AO = OC (радиусы окружности). Следовательно, ∠OAC = ∠OCA. 2. Найдем углы ∠OAC и ∠OCA: ∠OAC = ∠OCA = (180° - ∠AOC) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°. 3. ∠BCA = 90°, так как опирается на диаметр (или ∠ABC вписанный и опирается на диаметр, следовательно, прямой). 4. ∠BCO = ∠BCA - ∠OCA = 90° - 65° = 25°. Ответ: ∠BCO = 25°. #### Задача 2 Дано: AB – диаметр, BC || AD. Доказать: AD = BC. Доказательство: 1. ∠ABC = ∠BAD как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AB. 2. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них: AB – общая сторона, ∠ABC = ∠BAD (доказано выше), ∠ACB = ∠BDA = 90° (как вписанные, опирающиеся на диаметр). 3. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по гипотенузе и острому углу. 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD = BC. Что и требовалось доказать. #### Задача 3 На рисунке 58 нужно определить, какие точки принадлежат окружности с центром O. По рисунку видно, что точка E принадлежит окружности с центром O, так как она лежит на окружности. #### Задача 4 Дано: ∠ABC = 32°. Найти: ∠AOC. Решение: 1. ∠ABC – вписанный угол, опирающийся на дугу AC. 2. ∠AOC – центральный угол, опирающийся на ту же дугу AC. 3. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. 4. ∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 32° = 64°. Ответ: ∠AOC = 64°. ### Вариант 2 #### Задача 1 Дано: ∠ABO = 40°. Найти: ∠BOC. Решение: 1. Треугольник ABO – равнобедренный, так как AO = BO (радиусы окружности). Следовательно, ∠BAO = ∠ABO = 40°. 2. Найдем ∠AOB: ∠AOB = 180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - 40° - 40° = 100°. 3. ∠AOB и ∠BOC – смежные углы, поэтому ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 100° = 80°. Ответ: ∠BOC = 80°. #### Задача 2 Дано: MN и PK – диаметры. Доказать: MK || PN. Доказательство: 1. ∠MOK = ∠PON как вертикальные углы. 2. OM = OK = OP = ON как радиусы окружности. 3. Треугольники MOK и PON – равнобедренные с равными углами при вершине (∠MOK = ∠PON). Следовательно, углы при основаниях этих треугольников равны: ∠OMK = ∠OKM = ∠OPN = ∠ONP. 4. ∠OMK = ∠ONP – внутренние накрест лежащие углы при прямых MK и PN и секущей MN. Следовательно, MK || PN. Что и требовалось доказать. #### Задача 3 На рисунке 58 нужно определить, какие точки принадлежат кругу с центром O. По рисунку видно, что точки M, D, E принадлежат кругу с центром O, так как они находятся внутри или на границе окружности. #### Задача 4 Дано: ∠RNP = 96°. Найти: ∠MNP. Решение: 1. ∠RNP – вписанный угол, опирающийся на дугу RP. 2. ∠RMP – тоже вписанный угол, опирающийся на ту же дугу RP. 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, ∠RMP = ∠RNP = 96°. 4. RN – диаметр, следовательно, дуга RPN = 180°. 5. ∠MNP – вписанный угол, опирающийся на дугу RPN. 6. ∠MNP = 180° - ∠RMP = 180° - 96° = 84°. Ответ: ∠MNP = 84°.