Вариант 1 1. Начертите два неколлинеарных вектора $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Постройте векторы, равные: а) $$\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$$; б) $$2\vec{b} - \vec{a}$$. 2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $$\vec{AO}$$, $$\vec{AK}$$, $$\vec{KD}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AD}$$. 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике ABC точка O - точка пересечения медиан. Выразите вектор $$\vec{AO}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AC}$$.

Решение варианта 1: 1. a) Для построения вектора $$\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$$ необходимо сначала построить вектор $$\frac{1}{2}\vec{a}$$, который будет в два раза короче вектора $$\vec{a}$$ и сонаправлен с ним. Затем построить вектор $$3\vec{b}$$, который будет в три раза длиннее вектора $$\vec{b}$$ и сонаправлен с ним. После этого сложить полученные векторы $$\frac{1}{2}\vec{a}$$ и $$3\vec{b}$$ по правилу параллелограмма или правилу треугольника. б) Для построения вектора $$2\vec{b} - \vec{a}$$ необходимо сначала построить вектор $$2\vec{b}$$, который будет в два раза длиннее вектора $$\vec{b}$$ и сонаправлен с ним. Затем построить вектор $$-\vec{a}$$, который будет иметь ту же длину, что и $$\vec{a}$$, но противоположно направлен. После этого сложить полученные векторы $$2\vec{b}$$ и $$-\vec{a}$$ по правилу параллелограмма или правилу треугольника. 2. Пусть $$ABCD$$ - ромб, $$O$$ - точка пересечения диагоналей, $$K$$ - середина $$BC$$. Выразим векторы $$\vec{AO}$$, $$\vec{AK}$$, $$\vec{KD}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AD}$$. * $$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$. Так как $$O$$ - точка пересечения диагоналей ромба, то $$\vec{AO}$$ является полусуммой векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$. * $$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$. Так как $$K$$ - середина $$BC$$, то $$\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD}$$. * $$\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{AD} - (\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$. 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки длиной 5 см и 12 см. Тогда длина большего основания равна $$5 + 12 = 17$$ см. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, на которые высота делит большее основание, равны разности полусуммы оснований и полуразности оснований. Отрезок длиной 5 см - это разность полусуммы оснований и полуразности оснований, а отрезок длиной 12 см - это полусумма оснований. Таким образом, полусумма оснований (средняя линия трапеции) равна 12 см. Ответ: 12 см 4. В треугольнике $$ABC$$ точка $$O$$ - точка пересечения медиан. Выразите вектор $$\vec{AO}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AC}$$. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть $$M$$ - середина $$BC$$. Тогда $$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$. Поскольку точка $$O$$ делит медиану $$AM$$ в отношении 2:1, то $$\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$$. Ответ: $$\vec{AO} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})$$