Вариант 2. 1. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника. 3. Известно, что \(sin \alpha = \frac{3}{5}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найдите \(cos \alpha\) и \(tg \alpha\).

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике с катетом 40 см и гипотенузой 41 см, найдем второй катет. Обозначим катет \(a = 40\) см, гипотенузу \(c = 41\) см, второй катет обозначим \(b\). По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] \[40^2 + b^2 = 41^2\] \[1600 + b^2 = 1681\] \[b^2 = 1681 - 1600\] \[b^2 = 81\] \[b = \sqrt{81} = 9\ \text{см}\] Больший острый угол лежит напротив большего катета, то есть напротив катета 40 см. Тогда: \[sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{40}{41}\] \[cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{9}{41}\] \[tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{40}{9}\] Ответ: \(sin \alpha = \frac{40}{41}\), \(cos \alpha = \frac{9}{41}\), \(tan \alpha = \frac{40}{9}\) 2. Пусть гипотенуза \(c = 20\) см, и \(sin \alpha = 0.8\). Нам нужно найти катеты \(a\) и \(b\). \[sin \alpha = \frac{a}{c}\] \[a = c \cdot sin \alpha = 20 \cdot 0.8 = 16 \ \text{см}\] Теперь найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] \[16^2 + b^2 = 20^2\] \[256 + b^2 = 400\] \[b^2 = 400 - 256\] \[b^2 = 144\] \[b = \sqrt{144} = 12 \ \text{см}\] Ответ: Катеты равны 16 см и 12 см. 3. Дано \(sin \alpha = \frac{3}{5}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найдем \(cos \alpha\) и \(tg \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\] \[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\] \[cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}\] \[cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\] Так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\alpha\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Значит: \[cos \alpha = -\frac{4}{5}\] Теперь найдем тангенс: \[tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\] Ответ: \(cos \alpha = -\frac{4}{5}\), \(tan \alpha = -\frac{3}{4}\)