Вариант №2 1. Найти двадцать пятый член арифметической прогрессии и сумму первых двадцати пяти членов этой прогрессии, если а₁= 12, d= -3 . 2. Найти седьмой член и сумму первых семи чисел геометрической прогрессии, если 1 b₁=-32.9. 2 3. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, заданной последовательностью 64; -16; 4;... 4. В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? 5. Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если а6=12, а16= 100. 5. Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если а6=12, 216= 100.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем задачи из варианта №2. 1. Найти двадцать пятый член арифметической прогрессии и сумму первых двадцати пяти членов этой прогрессии, если $$a_1= 12, d= -3$$. Сначала найдем двадцать пятый член арифметической прогрессии, используя формулу: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ В нашем случае $$n = 25$$, $$a_1 = 12$$, $$d = -3$$. Подставляем значения: $$a_{25} = 12 + (25-1)(-3) = 12 + 24(-3) = 12 - 72 = -60$$ Итак, двадцать пятый член прогрессии равен -60. Теперь найдем сумму первых двадцати пяти членов, используя формулу: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} * n$$ Подставляем известные значения: $$S_{25} = \frac{12 + (-60)}{2} * 25 = \frac{-48}{2} * 25 = -24 * 25 = -600$$ Сумма первых двадцати пяти членов равна -600. Ответ: $$a_{25} = -60$$, $$S_{25} = -600$$ 2. Найти седьмой член и сумму первых семи чисел геометрической прогрессии, если $$b_1=-32, q=\frac{1}{2}$$. Седьмой член геометрической прогрессии находится по формуле: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$ В нашем случае $$n = 7$$, $$b_1 = -32$$, $$q = \frac{1}{2}$$. Подставляем значения: $$b_7 = -32 * (\frac{1}{2})^{7-1} = -32 * (\frac{1}{2})^6 = -32 * \frac{1}{64} = -\frac{1}{2}$$ Итак, седьмой член прогрессии равен $$- \frac{1}{2}$$. Теперь найдем сумму первых семи членов, используя формулу: $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$ Подставляем значения: $$S_7 = \frac{-32(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{-32(\frac{127}{128})}{\frac{1}{2}} = -32 * \frac{127}{128} * 2 = -\frac{127}{2} = -63.5$$ Сумма первых семи членов равна -63.5. Ответ: $$b_7 = -\frac{1}{2}$$, $$S_7 = -63.5$$ 3. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, заданной последовательностью 64; -16; 4;... Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $$q$$. Для этого разделим второй член на первый: $$q = \frac{-16}{64} = -\frac{1}{4}$$ Теперь найдем седьмой член, используя формулу: $$b_n = b_1 * q^{n-1}$$ В нашем случае $$n = 7$$, $$b_1 = 64$$, $$q = -\frac{1}{4}$$. Подставляем значения: $$b_7 = 64 * (-\frac{1}{4})^{7-1} = 64 * (-\frac{1}{4})^6 = 64 * \frac{1}{4096} = \frac{1}{64}$$ Ответ: $$b_7 = \frac{1}{64}$$ 4. В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? Это арифметическая прогрессия, где $$a_1 = 20$$, $$d = 2$$. Нам нужно найти $$a_{10}$$. Используем формулу: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$a_{10} = 20 + (10-1) * 2 = 20 + 9 * 2 = 20 + 18 = 38$$ Ответ: В десятом ряду 38 мест. 5. Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если $$a_6=12$$, $$a_{16}=100$$. Сумма первых n членов арифметической прогрессии $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$. Чтобы найти сумму двенадцати первых членов, нам нужно знать $$a_1$$ и $$a_{12}$$. Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Имеем: $$a_6 = a_1 + 5d = 12$$ $$a_{16} = a_1 + 15d = 100$$ Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $$d$$: $$10d = 88$$ $$d = 8.8$$ Теперь найдем $$a_1$$, подставив $$d$$ в первое уравнение: $$a_1 + 5 * 8.8 = 12$$ $$a_1 + 44 = 12$$ $$a_1 = -32$$ Теперь найдем $$a_{12}$$: $$a_{12} = a_1 + 11d = -32 + 11 * 8.8 = -32 + 96.8 = 64.8$$ Теперь найдем сумму $$S_{12}$$: $$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(-32 + 64.8)}{2} = \frac{12 * 32.8}{2} = 6 * 32.8 = 196.8$$ Ответ: $$S_{12} = 196.8$$