Вариант 2. 1. Найти восьмой член геометрической прогрессии (bₙ), если b₁=-18 и q=1/2. 2. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (bₙ), если b₁=8 и q=2. 3. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 9, 12, 16, ... 4. Найдите номер члена геометрической прогрессии (bₙ), равного 1/32, если b₁=8 и q=-1/2. 5. Между числами 16 и 81 вставьте 3 таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим предложенные задачи по геометрии. Задача 1: Найти восьмой член геометрической прогрессии (\(b_n\)), если \(b_1 = -18\) и \(q = \frac{1}{2}\). Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставляем известные значения: \[b_8 = -18 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8-1} = -18 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = -18 \cdot \frac{1}{128} = -\frac{18}{128} = -\frac{9}{64}\] Ответ: \(b_8 = -\frac{9}{64}\) Задача 2: Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (\(b_n\)), если \(b_1 = 8\) и \(q = 2\). Формула для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\). Подставляем известные значения: \[S_{10} = \frac{8(2^{10} - 1)}{2 - 1} = \frac{8(1024 - 1)}{1} = 8 \cdot 1023 = 8184\] Ответ: \(S_{10} = 8184\) Задача 3: Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 9, 12, 16, ... Сначала найдем знаменатель прогрессии: \(q = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\). Первый член \(b_1 = 9\). Используем формулу для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\] Подставляем известные значения: \[S_6 = \frac{9((\frac{4}{3})^6 - 1)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{9((\frac{4096}{729}) - 1)}{\frac{1}{3}} = 27 \cdot (\frac{4096 - 729}{729}) = 27 \cdot \frac{3367}{729} = \frac{3367}{27} \approx 124.7\] Ответ: \(S_6 = \frac{3367}{27}\) Задача 4: Найдите номер члена геометрической прогрессии (\(b_n\)), равного \(\frac{1}{32}\), если \(b_1 = 8\) и \(q = -\frac{1}{2}\). Используем формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\] Подставляем известные значения: \[\frac{1}{32} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] \[\frac{1}{256} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] \[\left(-\frac{1}{2}\right)^{8} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] Значит, \(n - 1 = 8\), следовательно, \(n = 9\). Ответ: \(n = 9\) Задача 5: Между числами 16 и 81 вставьте 3 таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. У нас есть 5 членов геометрической прогрессии: \(b_1 = 16\), \(b_5 = 81\). Используем формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\] Подставляем известные значения: \[81 = 16 \cdot q^{5-1}\] \[81 = 16 \cdot q^4\] \[q^4 = \frac{81}{16}\] \[q = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}\] Теперь найдем промежуточные члены: \[b_2 = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24\] \[b_3 = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36\] \[b_4 = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54\] Ответ: 24, 36, 54. Развернутый ответ: 1. Чтобы найти восьмой член геометрической прогрессии, мы использовали формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(b_1\) - первый член, \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена, который нужно найти. Подставив значения, мы получили \(b_8 = -\frac{9}{64}\). 2. Для нахождения суммы первых десяти членов геометрической прогрессии мы использовали формулу \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\). Подставив значения, получили \(S_{10} = 8184\). 3. Для нахождения суммы шести первых членов геометрической прогрессии сначала нашли знаменатель \(q\), а затем использовали формулу суммы. Получили \(S_6 = \frac{3367}{27}\). 4. Чтобы найти номер члена геометрической прогрессии, мы использовали формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\) и решили уравнение относительно \(n\). Получили \(n = 9\). 5. Чтобы вставить три числа между 16 и 81, образующие геометрическую прогрессию, мы сначала нашли знаменатель \(q\), а затем нашли промежуточные члены, умножая каждый предыдущий член на \(q\).