Вариант 1. 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань – квадрат. 2. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10см и 24см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача 1:

Основание призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Значит, гипотенуза основания равна $$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ см.

Наибольшая боковая грань - квадрат. Это означает, что высота призмы равна наибольшей стороне основания, то есть 10 см.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как у нас прямая призма, то боковые грани - прямоугольники.

Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240$$ см².

Ответ: 240 см²

Задача 2:

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°.

а) Найдем высоту пирамиды.

Пусть h - высота пирамиды, a - сторона основания пирамиды, l - боковое ребро. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Тогда $$\sin{45^\circ} = \frac{h}{l}$$.

Отсюда, $$h = l \cdot \sin{45^\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.

Ответ: $$2\sqrt{2}$$ см

б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Т.к. угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то проекция бокового ребра на основание равна высоте пирамиды, деленной на косинус 45°, то есть $$4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ см.

Сторона основания равна $$a = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$$ см.

Апофема боковой грани (высота боковой грани) равна $$\sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ см.

Площадь одной боковой грани: $$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды: $$4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$ см².

Ответ: $$16\sqrt{3}$$ см²

Задача 3:

Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Найдем сторону ромба: $$a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{10^2 + 24^2} = \frac{1}{2} \sqrt{100 + 576} = \frac{1}{2} \sqrt{676} = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$$ см.

Высота параллелепипеда: $$h = d_1 \cdot \tan{45^\circ} = 10 \cdot 1 = 10$$ см.

Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = P \cdot h = 4 \cdot 13 \cdot 10 = 520$$ см².

Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$ см².

Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 520 + 2 \cdot 120 = 520 + 240 = 760$$ см².

Ответ: 760 см²