Вариант 3

Задание 1

Пусть $$\alpha$$ - данный внутренний угол, $$\beta$$ - внутренний односторонний с ним, а $$\gamma$$ - накрест лежащий с первым угол. Тогда по условию:

$$ alpha + eta + gamma = 320^{\circ} $$

Из свойств углов при параллельных прямых и секущей известно, что $$\beta = 180^{\circ} - \alpha$$ и $$\gamma = \alpha$$. Подставим эти выражения в уравнение:

$$ alpha + (180^{\circ} - \alpha) + \alpha = 320^{\circ} $$ $$ 180^{\circ} + \alpha = 320^{\circ} $$ $$ \alpha = 320^{\circ} - 180^{\circ} = 140^{\circ} $$

Угол, вертикальный с первым углом, равен первому углу.

Ответ: 140°

Задание 2

Рассмотрим треугольник MNK. NP - высота, значит угол PNK = 90°. Сумма углов треугольника равна 180°.

В треугольнике MNK угол M = 27°, угол MNK = 130°. Тогда угол K = 180° - 27° - 130° = 23°.

Рассмотрим треугольник PNK. Угол PNK = 90°, угол K = 23°. Тогда угол KPN = 180° - 90° - 23° = 67°.

Ответ: угол PNK = 90°, угол KPN = 67°, угол K = 23°

Задание 3

В треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC. Это означает, что BM = AM = MC. Тогда треугольник ABM равнобедренный, и треугольник BMC также равнобедренный. Пусть угол ABM = углу BAM = x, а угол MBC = углу MCB = y. Тогда угол ABC = x + y, а угол ACB = y, угол BAC = x.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°: x + x + y + y = 180°, 2x + 2y = 180°, x + y = 90°.

Угол ABC = x + y = 90°.

Ответ: 90°

Вариант 4

Задание 1

Пусть $$\alpha$$ - данный внутренний угол, $$\beta$$ - внутренний односторонний с ним, а $$\gamma$$ - накрест лежащий с первым угол. Тогда по условию:

$$ \alpha + \beta + \gamma = 240^{\circ} $$

Из свойств углов при параллельных прямых и секущей известно, что $$\beta = 180^{\circ} - \alpha$$ и $$\gamma = \alpha$$. Подставим эти выражения в уравнение:

$$ \alpha + (180^{\circ} - \alpha) + \alpha = 240^{\circ} $$ $$ 180^{\circ} + \alpha = 240^{\circ} $$ $$ \alpha = 240^{\circ} - 180^{\circ} = 60^{\circ} $$

Угол, смежный с первым углом, равен 180° - $$\alpha$$ = 180° - 60° = 120°.

Ответ: 120°

Задание 2

Рассмотрим треугольник SRT. RQ - высота, значит угол SQR = 90°. Сумма углов треугольника равна 180°.

В треугольнике SRT угол T = 42°, угол SRT = 110°. Тогда угол R = 180° - 42° - 110° = 28°.

Рассмотрим треугольник SRQ. Угол SQR = 90°, угол SRT = 110°, значит угол QRS = 110° - 90° = 20°. Тогда угол RSQ = 180° - 90° - 20° = 70°.

Ответ: угол SRQ = 90°, угол RSQ = 70°, угол QRS = 20°

Задание 3

К сожалению, для решения этой задачи недостаточно информации. Необходимо знать больше о соотношении между медианой KL и сторонами треугольника OKB, чтобы определить угол OKB.

Ответ: недостаточно информации для решения задачи.