Вариант 2 1. Решите уравнения: a) 1-3x / 14 - x-2 / 4 = 0 б) x²-2x / x+4 = x-4 / x+4 в) 2x²+3x / 3-x - x-x² / x-3 г) 1 / x+3 = 2x / x²-5

Вариант 2

1. Решите уравнения:

a) \(\frac{1-3x}{14} - \frac{x-2}{4} = 0\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю: общий знаменатель для 14 и 4 будет 28. Домножаем первую дробь на 2, вторую на 7: \[\frac{2(1-3x)}{28} - \frac{7(x-2)}{28} = 0\]
2. Упростим уравнение: \[\frac{2-6x - 7x + 14}{28} = 0\] \[\frac{16 - 13x}{28} = 0\]
3. Решим уравнение: Умножаем обе части на 28: \[16 - 13x = 0\] \[13x = 16\] \[x = \frac{16}{13}\]

Ответ: \(x = \frac{16}{13}\)

б) \(\frac{x^2-2x}{x+4} = \frac{x-4}{x+4}\)

1. Приравняем числители: \[x^2 - 2x = x - 4\]
2. Перенесем все в одну сторону: \[x^2 - 3x + 4 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7\). Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений

в) \(\frac{2x^2+3x}{3-x} - \frac{x-x^2}{x-3}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю: Заметим, что \(3-x = -(x-3)\), поэтому изменим знак у второй дроби: \[\frac{2x^2+3x}{3-x} + \frac{x-x^2}{3-x} = \frac{2x^2 + 3x + x - x^2}{3-x} = \frac{x^2 + 4x}{3-x}\]
2. Приравняем к нулю, чтобы решить уравнение: \[\frac{x^2 + 4x}{3-x} = 0\]
3. Решим уравнение: Числитель должен быть равен нулю: \[x^2 + 4x = 0\] \[x(x+4) = 0\] Отсюда \(x = 0\) или \(x = -4\).
4. Убедимся, что знаменатель не равен нулю: \(3 - x
   eq 0\), значит \(x
   eq 3\). Оба корня, 0 и -4, удовлетворяют этому условию.

Ответ: \(x = 0, x = -4\)

г) \(\frac{1}{x+3} = \frac{2x}{x^2-5}\)

1. Перемножим крест-накрест: \[x^2 - 5 = 2x(x+3)\] \[x^2 - 5 = 2x^2 + 6x\]
2. Перенесем все в одну сторону: \[0 = x^2 + 6x + 5\]
3. Решим квадратное уравнение: Дискриминант \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\). Корни: \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2}\]
4. Найдем корни: \[x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = -1\] \[x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = -5\]
5. Убедимся, что знаменатели не равны нулю: \(x+3
   eq 0\), значит \(x
   eq -3\). \(x^2 - 5
   eq 0\), значит \(x
   eq \pm \sqrt{5}\). Оба корня, -1 и -5, удовлетворяют этим условиям.

Ответ: \(x = -1, x = -5\)