Вариант 1 1. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? 2. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? 3. В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 23 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? 4. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальны масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграмм 5. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальн ла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграм

## Решение задач: Вариант 1 ### Задача 1: В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Это арифметическая прогрессия, где: * $$a_1 = 16$$ (количество мест в первом ряду) * $$d = 2$$ (разность, на которую увеличивается количество мест в каждом следующем ряду) * $$n = 14$$ (количество рядов) Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$ Подставляем известные значения: $$S_{14} = \frac{14}{2} [2 \cdot 16 + (14-1) \cdot 2]$$ $$S_{14} = 7 [32 + 13 \cdot 2]$$ $$S_{14} = 7 [32 + 26]$$ $$S_{14} = 7 \cdot 58$$ $$S_{14} = 406$$ Ответ: Всего в амфитеатре 406 мест. ### Задача 2: В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? Это тоже арифметическая прогрессия, где: * $$a_1 = 20$$ (количество мест в первом ряду) * $$d = 3$$ (разность, на которую увеличивается количество мест в каждом следующем ряду) * $$n = 14$$ (количество рядов) Нам нужно найти количество мест в десятом ряду, то есть $$a_{10}$$. Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ Подставляем известные значения для $$n = 10$$: $$a_{10} = 20 + (10-1) \cdot 3$$ $$a_{10} = 20 + 9 \cdot 3$$ $$a_{10} = 20 + 27$$ $$a_{10} = 47$$ Ответ: В десятом ряду амфитеатра 47 мест. ### Задача 3: В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 23 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? Аналогично предыдущей задаче, это арифметическая прогрессия, где: * $$a_1 = 23$$ (количество мест в первом ряду) * $$d = 3$$ (разность) * $$n = 13$$ (количество рядов) Находим количество мест в десятом ряду ($$a_{10}$$): $$a_{10} = a_1 + (10-1)d$$ $$a_{10} = 23 + 9 \cdot 3$$ $$a_{10} = 23 + 27$$ $$a_{10} = 50$$ Ответ: В десятом ряду амфитеатра 50 мест. ### Задача 4: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах. Период полураспада $$T = 8$$ минут. Время, прошедшее с начала распада, $$t = 32$$ минуты. Количество периодов полураспада, прошедших за это время: $$n = \frac{t}{T} = \frac{32}{8} = 4$$ Масса изотопа после $$n$$ периодов полураспада: $$m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$$ где $$m_0$$ - начальная масса изотопа. $$m = 200 \cdot (\frac{1}{2})^4$$ $$m = 200 \cdot \frac{1}{16}$$ $$m = \frac{200}{16} = 12.5$$ Ответ: Масса изотопа через 32 минуты составит 12.5 мг. ### Задача 5: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 63 минуты. Ответ дайте в миллиграммах. Период полураспада $$T = 9$$ минут. Время, прошедшее с начала распада, $$t = 63$$ минуты. Количество периодов полураспада: $$n = \frac{t}{T} = \frac{63}{9} = 7$$ Масса изотопа после 7 периодов полураспада: $$m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$$ $$m = 320 \cdot (\frac{1}{2})^7$$ $$m = 320 \cdot \frac{1}{128}$$ $$m = \frac{320}{128} = 2.5$$ Ответ: Масса изотопа через 63 минуты составит 2.5 мг.