Вариант 1 1. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB. 2. Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°. 3. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно 4. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Точка O — центр окружности. Вариант 2 1. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. 2. Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах. 3. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°. 4. Точка O — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Вариант 1

1. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

   Так как OC = OA (радиусы), то треугольник OCA - равнобедренный. ∠OCA = ∠OAC. ∠OCD = 30°, значит ∠OCA = 30°. Следовательно, ∠OAC = 30°.

   ∠OAB = ∠OAC = 30°.

   Ответ: 30°

2. Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

   ∠MNP - вписанный угол, опирающийся на дугу MP. ∠MNP = 18°, значит дуга MP = 2 * 18° = 36°.

   NP - диаметр, значит дуга NMP = 180°. Дуга NM = дуга NMP - дуга MP = 180° - 36° = 144°.

   ∠MON - центральный угол, опирающийся на дугу NM. ∠MON = дуга NM = 144°.

   Ответ: 144°

3. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

   ∠DEF - вписанный угол, опирающийся на дугу DF. Дуга DF = дуга DE + дуга EF = 150° + 68° = 218°.

   ∠DEF = 1/2 * дуга DF = 1/2 * 218° = 109°.

   Ответ: 109°

4. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Точка O — центр окружности.

   Дуга KM = дуга KN - дуга MN = 180° - 124° = 56°.

   ∠KOM - центральный угол, опирающийся на дугу KM. ∠KOM = дуга KM = 56°.

   Ответ: 56°

Вариант 2

1. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

   ∠ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, дуга AB = 2 * ∠ACB = 2 * 26° = 52°.

   ∠AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. ∠AOB = дуга AB = 52°.

   ∠AOD - смежный с ∠AOB. ∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - 52° = 128°.

   Ответ: 128°

2. Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.

   ∠AOD - центральный угол, опирающийся на дугу AD. Значит, дуга AD = ∠AOD = 110°.

   ∠ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AD. ∠ACB = 1/2 * дуга AD = 1/2 * 110° = 55°.

   Ответ: 55°

3. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

   ∠AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, дуга AB = ∠AOB = 48°.

   ∠ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ∠ACB = 1/2 * дуга AB = 1/2 * 48° = 24°.

   Ответ: 24°

4. Точка O — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

   ∠AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, дуга AB = ∠AOB = 84°.

   ∠ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ∠ACB = 1/2 * дуга AB = 1/2 * 84° = 42°.

   Ответ: 42°