Вариант №2. 1. В прямоугольном треугольнике DES угол S равен 30°, угол Е равен 90°. Найдите гипотенузу DS этого треугольника, если катет DE равен 6,5см. 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 13 см. Найдите основание этого треугольника. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°. Сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 21 см. Найдите гипотенузу.

Решение: **Задача 1:** В прямоугольном треугольнике \(DES\) с углом \(\angle S = 30^\circ\) и углом \(\angle E = 90^\circ\), катет \(DE = 6.5\) см. Нужно найти гипотенузу \(DS\). Используем тригонометрическое соотношение: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. \[\sin(S) = \frac{DE}{DS}\] Подставляем известные значения: \[\sin(30^\circ) = \frac{6.5}{DS}\] Так как \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем: \[\frac{1}{2} = \frac{6.5}{DS}\] Решаем уравнение относительно \(DS\): \[DS = 2 \times 6.5 = 13\ \text{см}\] Ответ: Гипотенуза \(DS\) равна 13 см. **Задача 2:** В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 13 см. Найти основание этого треугольника. Пусть дан равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB = BC\) и \(\angle B = 120^\circ\). Высота \(AH\) проведена к боковой стороне \(BC\) и равна 13 см. Нужно найти основание \(AC\). Так как \(\angle B = 120^\circ\), то углы при основании \(\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AHB\). В этом треугольнике \(\angle ABH = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\). Используем тригонометрическое соотношение: \[\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{13}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{13}{AB}\] \[AB = 2 \times 13 = 26\ \text{см}\] Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Проведём высоту \(BD\) к основанию \(AC\). Так как \(ABC\) равнобедренный, \(BD\) также является медианой. Значит, \(AD = DC\) и \(\angle ABD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\). В этом треугольнике \(\angle BAD = 30^\circ\). Используем тригонометрическое соотношение: \[\cos(\angle BAD) = \frac{AD}{AB}\] \[\cos(30^\circ) = \frac{AD}{26}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AD}{26}\] \[AD = 26 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{3}\ \text{см}\] Тогда \(AC = 2 \times AD = 2 \times 13\sqrt{3} = 26\sqrt{3}\) см. Ответ: Основание треугольника равно \(26\sqrt{3}\) см. **Задача 3:** Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°. Сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 21 см. Найти гипотенузу. Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle A = 60^\circ\). Тогда \(\angle B = 30^\circ\). Пусть \(a\) - катет, лежащий напротив угла \(A\), \(b\) - катет, лежащий напротив угла \(B\), и \(c\) - гипотенуза. Меньшим катетом является \(b\), так как он лежит напротив угла 30°. По условию, \(c + b = 21\) см. Нам нужно найти \(c\). Используем тригонометрические соотношения: \[\sin(30^\circ) = \frac{b}{c}\] \[\frac{1}{2} = \frac{b}{c}\] \[b = \frac{c}{2}\] Подставляем это в уравнение \(c + b = 21\): \[c + \frac{c}{2} = 21\] \[\frac{3c}{2} = 21\] \[3c = 42\] \[c = 14\ \text{см}\] Ответ: Гипотенуза равна 14 см.