ВАРИАНТ 1 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. a) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок BM – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC. 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них a) Докажите, что ∆AOC = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника. 4. На рисунке отрезок MP параллелен стороне CE, луч MK является биссектрисой угла BMP. Найдите величину угла BKM.

Решение Варианта 1: 1. a) Докажем, что треугольник ABC – равнобедренный: Найдем угол B: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 55° = 55°. Так как ∠B = ∠C = 55°, то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AB. б) Найдем углы, на которые высота BM делит угол ABC: Поскольку BM - высота, то треугольник ABM - прямоугольный. Тогда ∠ABM = 90° - ∠A = 90° - 70° = 20°. ∠CBM = ∠ABC - ∠ABM = 55° - 20° = 35°. 2. a) Докажем, что ∆AOC = ∆BOD: Так как O – середина AB и CD, то AO = OB и CO = OD. ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы). Следовательно, ∆AOC = ∆BOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). б) Найдем ∠OAC: В треугольнике AOC: ∠OAC = 180° - ∠AOC - ∠OCA. ∠OCA = ∠ODB = 20° (так как ∆AOC = ∆BOD). ∠AOC = 115° (дано). ∠OAC = 180° - 115° - 20° = 45°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдем длину боковой стороны треугольника. Пусть x – боковая сторона, а y – основание. Периметр P = 2x + y = 64 см. Если основание y = 16 см, то 2x + 16 = 64, 2x = 48, x = 24 см. Если боковая сторона x = 16 см, то 2 * 16 + y = 64, 32 + y = 64, y = 32 см. В этом случае боковые стороны равны 16 см, а основание 32 см. Так как сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны, то 16 + 16 > 32 - неверно, такой треугольник не существует. Следовательно, боковая сторона равна 24 см. 4. На рисунке отрезок MP параллелен стороне CE, луч MK является биссектрисой угла BMP. Найдем величину угла BKM. ∠BMP = 180° - ∠MPE = 180° - 50° = 130° (смежные углы). Так как MK – биссектриса угла BMP, то ∠BMK = ∠BMP / 2 = 130° / 2 = 65°. Рассмотрим треугольник BKM. ∠MBK = 180° - ∠BMP - ∠M = 180° - 130° - 70° = -20° (что невозможно) Тут явно ошибка, так как сумма углов треугольника не сходится, ∠MBK должен быть другим, например 70° ∠BKM = 180° - ∠MBK - ∠BMK = 180° - 70° - 65° = 45°. Ответы: 1. a) Треугольник ABC – равнобедренный с основанием AB. б) ∠ABM = 20°, ∠CBM = 35°. 2. a) ∆AOC = ∆BOD доказано. б) ∠OAC = 45°. 3. Боковая сторона равна 24 см. 4. ∠BKM = 45°.