Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 2 1. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, AC = 8 см, BC = 6 см. Найдите: 1) ctgB; 2) sinA. 2. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) известно, что AC = 12 см, tgA = 0,8. Найдите катет BC. 3. Найдите значение выражения cos²30° + sin²52° + cos²52°. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию. 5. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, AB = 12 см, ∠A = 60°, ∠CBD = 30°. Найдите отрезок CD. 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен α. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.
Ответ:
{
"1": {
"1)": "В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, AC = 8 см и BC = 6 см, котангенс угла B (ctgB) определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему. То есть, ctgB = BC / AC = 6/8 = 3/4 = 0.75.
Ответ: ctgB = 0.75", "2)": "Синус угла A (sinA) определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 см.
Тогда sinA = BC / AB = 6 / 10 = 3/5 = 0.6.
Ответ: sinA = 0.6" }, "2": "В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) известно, что AC = 12 см и tgA = 0.8. Тангенс угла A (tgA) определяется как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC). То есть, tgA = BC / AC.
Чтобы найти BC, используем формулу: BC = AC * tgA = 12 * 0.8 = 9.6 см.
Ответ: BC = 9.6 см", "3": "Необходимо найти значение выражения cos²30° + sin²52° + cos²52°.
Мы знаем, что cos²30° = (√3 / 2)² = 3/4 = 0.75.
Также, sin²52° + cos²52° = 1 (по основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1).
Таким образом, cos²30° + sin²52° + cos²52° = 0.75 + 1 = 1.75.
Ответ: 1.75", "4": "Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
Нарисуем высоту к основанию, которая также является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна 13 см (боковая сторона равнобедренного треугольника), а один из катетов равен половине основания, то есть 5 см.
Найдем второй катет (высоту) по теореме Пифагора: h = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
Теперь рассмотрим угол между боковой стороной треугольника и высотой, проведенной к основанию (назовем его α).
Синус этого угла (sin α) равен отношению противолежащего катета (половины основания) к гипотенузе (боковой стороне): sin α = 5/13 ≈ 0.3846.
Косинус этого угла (cos α) равен отношению прилежащего катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне): cos α = 12/13 ≈ 0.9231.
Тангенс этого угла (tg α) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tg α = 5/12 ≈ 0.4167.
Котангенс этого угла (ctg α) равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету: ctg α = 12/5 = 2.4.
Ответ: sin α ≈ 0.3846, cos α ≈ 0.9231, tg α ≈ 0.4167, ctg α = 2.4", "5": "Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, AB = 12 см, ∠A = 60°, ∠CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике ABD: AD = AB * cosA = 12 * cos60° = 12 * (1/2) = 6 см.
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = (90° - ∠A) + 30° = (90° - 60°) + 30° = 30° + 30° = 60°.
В треугольнике ABC: ∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 60° - 60° = 60°.
Значит, треугольник ABC равносторонний (так как все углы равны 60°). Следовательно, AC = AB = 12 см.
CD = AC - AD = 12 - 6 = 6 см.
Ответ: CD = 6 см", "6": "В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием равен α. Высота трапеции равна h.
Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, а трапеция равнобокая, угол между диагональю и основанием тоже будет α. Угол между диагональю и высотой равен 90° - α.
Высота трапеции является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной и высотой. Боковая сторона равна h / sin α.
Радиус описанной окружности для равнобокой трапеции, у которой диагональ перпендикулярна боковой стороне, равен боковой стороне.
Тогда радиус R = h / sin α.
Ответ: R = h / sin α" } }
Ответ: ctgB = 0.75", "2)": "Синус угла A (sinA) определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: AB = √(AC² + BC²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 см.
Тогда sinA = BC / AB = 6 / 10 = 3/5 = 0.6.
Ответ: sinA = 0.6" }, "2": "В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) известно, что AC = 12 см и tgA = 0.8. Тангенс угла A (tgA) определяется как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC). То есть, tgA = BC / AC.
Чтобы найти BC, используем формулу: BC = AC * tgA = 12 * 0.8 = 9.6 см.
Ответ: BC = 9.6 см", "3": "Необходимо найти значение выражения cos²30° + sin²52° + cos²52°.
Мы знаем, что cos²30° = (√3 / 2)² = 3/4 = 0.75.
Также, sin²52° + cos²52° = 1 (по основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1).
Таким образом, cos²30° + sin²52° + cos²52° = 0.75 + 1 = 1.75.
Ответ: 1.75", "4": "Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
Нарисуем высоту к основанию, которая также является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна 13 см (боковая сторона равнобедренного треугольника), а один из катетов равен половине основания, то есть 5 см.
Найдем второй катет (высоту) по теореме Пифагора: h = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
Теперь рассмотрим угол между боковой стороной треугольника и высотой, проведенной к основанию (назовем его α).
Синус этого угла (sin α) равен отношению противолежащего катета (половины основания) к гипотенузе (боковой стороне): sin α = 5/13 ≈ 0.3846.
Косинус этого угла (cos α) равен отношению прилежащего катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне): cos α = 12/13 ≈ 0.9231.
Тангенс этого угла (tg α) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tg α = 5/12 ≈ 0.4167.
Котангенс этого угла (ctg α) равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету: ctg α = 12/5 = 2.4.
Ответ: sin α ≈ 0.3846, cos α ≈ 0.9231, tg α ≈ 0.4167, ctg α = 2.4", "5": "Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, AB = 12 см, ∠A = 60°, ∠CBD = 30°.
В прямоугольном треугольнике ABD: AD = AB * cosA = 12 * cos60° = 12 * (1/2) = 6 см.
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = (90° - ∠A) + 30° = (90° - 60°) + 30° = 30° + 30° = 60°.
В треугольнике ABC: ∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 60° - 60° = 60°.
Значит, треугольник ABC равносторонний (так как все углы равны 60°). Следовательно, AC = AB = 12 см.
CD = AC - AD = 12 - 6 = 6 см.
Ответ: CD = 6 см", "6": "В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием равен α. Высота трапеции равна h.
Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, а трапеция равнобокая, угол между диагональю и основанием тоже будет α. Угол между диагональю и высотой равен 90° - α.
Высота трапеции является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной и высотой. Боковая сторона равна h / sin α.
Радиус описанной окружности для равнобокой трапеции, у которой диагональ перпендикулярна боковой стороне, равен боковой стороне.
Тогда радиус R = h / sin α.
Ответ: R = h / sin α" } }
Похожие
