Вариант 3 1. Водитель автомобиля, ехавшего по прямой улице со скоростью 54 км/ч, начал торможение на красный сигнал светофора. Через 10 с после начала торможения автомобиль остановился. Какой путь прошел автомобиль за это время? Движение считать равнозамедленным. 2. Тело массой 2 кг движется по окружности радиусом 2 м, с постоянной скоростью 3 м/с. Найдите равнодействующую всех сил, действующих на тело. 3. Пуля массой 7 г, движущаяся со скоростью 650 м/с, пробивает доску толщиной 7 см. Какую скорость будет иметь пуля при вылете из доски, если средняя сила сопротивления, действующая на пулю в доске, равна 21 кН? 4. Искусственный спутник, масса которого 99 кг, находится на орбите на расстоянии 178 км над поверхностью Земли. Масса Земли составляет 5,99-1024 кг, а её радиус равен 6386000 км. Каково расстояние между искусственным спутником и центром Земли? Какова сила притяжения между Землёй и искусственным спутником? 5. Брусок массой 0,5 кг движется по столу под действием горизонтальной силы 3 Н, ускорение бруска равно 4 м/с². Чему равен коэффициент трения между бруском и столом? 6. Поезд, масса которого 4000 т, движущийся со скоростью 36 км/ч, начал торможение. За 1 минуту поезд проехал 510 м. Чему равна сила трения, действующая на поезд?

1. Переведем скорость из км/ч в м/с: $$54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$ Путь при равнозамедленном движении можно найти по формуле: $$S = v_0t + \frac{at^2}{2}$$, где $$v_0$$ - начальная скорость, $$t$$ - время, $$a$$ - ускорение. Ускорение найдем из формулы $$v = v_0 + at$$, где v = 0, так как автомобиль остановился. Отсюда $$a = \frac{-v_0}{t} = \frac{-15 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = -1.5 \text{ м/с}^2$$ Тогда $$S = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 10 \text{ с} + \frac{-1.5 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ с})^2}{2} = 150 \text{ м} - 75 \text{ м} = 75 \text{ м}$$ Ответ: 75 м 2. Равнодействующая всех сил, действующих на тело, движущееся по окружности, является центростремительной силой. Она находится по формуле: $$F = \frac{mv^2}{R}$$, где m - масса тела, v - скорость тела, R - радиус окружности. $$F = \frac{2 \text{ кг} \cdot (3 \text{ м/с})^2}{2 \text{ м}} = \frac{2 \text{ кг} \cdot 9 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2 \text{ м}} = 9 \text{ Н}$$ Ответ: 9 Н 3. Запишем дано: $$m = 7 \text{ г} = 0.007 \text{ кг}$$ $$v_0 = 650 \text{ м/с}$$ $$d = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$$ $$F = 21 \text{ кН} = 21000 \text{ Н}$$ Работа силы сопротивления равна изменению кинетической энергии пули: $$A = Fd = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$$ Выразим конечную скорость пули: $$v = \sqrt{\frac{2Fd + mv_0^2}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 21000 \text{ Н} \cdot 0.07 \text{ м} + 0.007 \text{ кг} \cdot (650 \text{ м/с})^2}{0.007 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2940 + 2957.5}{0.007}} = \sqrt{842500} \approx 917.88 \text{ м/с}$$ Но, так как работа силы сопротивления отрицательная, то перед Fd нужно поставить знак минус: $$v = \sqrt{\frac{-2Fd + mv_0^2}{m}} = \sqrt{\frac{-2 \cdot 21000 \text{ Н} \cdot 0.07 \text{ м} + 0.007 \text{ кг} \cdot (650 \text{ м/с})^2}{0.007 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{-2940 + 2957.5}{0.007}} = \sqrt{2500} = 50 \text{ м/с}$$ Ответ: 50 м/с 4. Расстояние от спутника до центра Земли равно сумме радиуса Земли и высоты спутника над поверхностью Земли: $$R = R_З + h = 6386000 \text{ м} + 178000 \text{ м} = 6564000 \text{ м} = 6564 \text{ км}$$ Сила притяжения между Землей и спутником находится по формуле всемирного тяготения: $$F = G \frac{Mm}{R^2}$$, где G - гравитационная постоянная ($$6.674 \cdot 10^{-11}$$ Н·м²/кг²), M - масса Земли, m - масса спутника, R - расстояние между центрами Земли и спутника. $$F = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{5.99 \cdot 10^{24} \text{ кг} \cdot 99 \text{ кг}}{(6564000 \text{ м})^2} \approx 920 \text{ Н}$$ Ответ: Расстояние между спутником и центром Земли равно 6564 км. Сила притяжения между Землей и спутником равна примерно 920 Н. 5. Запишем дано: $$m = 0.5 \text{ кг}$$ $$F = 3 \text{ Н}$$ $$a = 4 \text{ м/с}^2$$ По второму закону Ньютона, $$F - F_{\text{тр}} = ma$$, где $$F_{\text{тр}}$$ - сила трения. Сила трения находится по формуле: $$F_{\text{тр}} = \mu mg$$, где $$\mu$$ - коэффициент трения, g - ускорение свободного падения (примерно 9.8 м/с²). Тогда $$F - \mu mg = ma$$ $$\mu = \frac{F - ma}{mg} = \frac{3 \text{ Н} - 0.5 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с}^2}{0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{3 - 2}{4.9} \approx 0.204$$ Ответ: Коэффициент трения между бруском и столом равен примерно 0.204. 6. Запишем дано: $$m = 4000 \text{ т} = 4 \cdot 10^6 \text{ кг}$$ $$v_0 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$ $$S = 510 \text{ м}$$ $$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$$ Путь при равнозамедленном движении: $$S = v_0t + \frac{at^2}{2}$$ Ускорение: $$a = \frac{2(S - v_0t)}{t^2} = \frac{2(510 \text{ м} - 10 \text{ м/с} \cdot 60 \text{ с})}{(60 \text{ с})^2} = \frac{2(510 - 600)}{3600} = \frac{-180}{3600} = -0.05 \text{ м/с}^2$$ Сила трения, действующая на поезд: $$F = ma = 4 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot 0.05 \text{ м/с}^2 = 2 \cdot 10^5 \text{ Н} = 200 \text{ кН}$$ Ответ: Сила трения, действующая на поезд, равна 200 кН.