Вариант 3 1. Вычислите: А) log3 729 = Б) log2 (1/64) = В) log6 √6 = Г) log√3 1 = Д) log(1/4) 1024 = Е) log(1/5) 3125 = Ж) log0,4 0,16 = З) lg 0,0001 = И) logπ π = К) log576 24 = 2. Найдите значение выражения: А) (1/2)^(log(1/2) 9) = Б) 4^(2+log4 0,5) = В) log4 8 + log4 32 = Г) log2 100 - log2 25 = Д) (log6 2) / (log6 32) =

Выполним вычисления для каждого пункта задания. 1. Вычислите: А) $$log_3 729 = log_3 3^6 = 6$$ Объяснение: 729 это 3 в 6-й степени. Б) $$log_2 \frac{1}{64} = log_2 2^{-6} = -6$$ Объяснение: 1/64 это 2 в степени -6. В) $$log_6 \sqrt[5]{6} = log_6 6^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}$$ Объяснение: Корень пятой степени из 6 это 6 в степени 1/5. Г) $$log_{\sqrt{3}} 1 = 0$$ Объяснение: Логарифм единицы по любому основанию равен 0. Д) $$log_{\frac{1}{4}} 1024 = log_{4^{-1}} 4^5 = -5$$ Объяснение: 1/4 это 4 в степени -1, а 1024 это 4 в 5-й степени. Е) $$log_{\frac{1}{5}} 3125 = log_{5^{-1}} 5^5 = -5$$ Объяснение: 1/5 это 5 в степени -1, а 3125 это 5 в 5-й степени. Ж) $$log_{0.4} 0.16 = log_{\frac{2}{5}} (\frac{2}{5})^2 = 2$$ Объяснение: 0.4 это 2/5, а 0.16 это (2/5) в квадрате. З) $$lg \ 0.0001 = log_{10} 10^{-4} = -4$$ Объяснение: 0.0001 это 10 в степени -4. И) $$log_{\pi} \pi = 1$$ Объяснение: Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1. К) $$log_{576} 24 = log_{24^2} 24 = \frac{1}{2}$$ Объяснение: 576 это 24 в квадрате. 2. Найдите значение выражения: А) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{log_{\frac{1}{2}} 9} = 9$$ Объяснение: По основному логарифмическому тождеству, a^(log_a x) = x. Б) $$4^{2 + log_4 0.5} = 4^2 \cdot 4^{log_4 0.5} = 16 \cdot 0.5 = 8$$ Объяснение: Используем свойство a^(b+c) = a^b * a^c и основное логарифмическое тождество. В) $$log_4 8 + log_4 32 = log_4 (8 \cdot 32) = log_4 256 = log_4 4^4 = 4$$ Объяснение: Используем свойство log_a x + log_a y = log_a (x*y). Г) $$log_2 100 - log_2 25 = log_2 \frac{100}{25} = log_2 4 = log_2 2^2 = 2$$ Объяснение: Используем свойство log_a x - log_a y = log_a (x/y). Д) $$\frac{log_6 2}{log_6 32} = \frac{log_6 2}{log_6 2^5} = \frac{log_6 2}{5 log_6 2} = \frac{1}{5}$$ Объяснение: Используем свойство log_a (x^b) = b*log_a x. Ответы: 1. Вычислите: * А) 6 * Б) -6 * В) 1/5 * Г) 0 * Д) -5 * Е) -5 * Ж) 2 * З) -4 * И) 1 * К) 1/2 2. Найдите значение выражения: * А) 9 * Б) 8 * В) 4 * Г) 2 * Д) 1/5