Вариант 1: Высота правильной треугольной пирамиды равна $$a\sqrt{3}$$, радиус окружности, описанной около ее основания, $$2a$$. Найдите: а) апофему пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь боковой поверхности; г) плоский угол при вершине пирамиды. Вариант 2: Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна $$2a$$, высота пирамиды равна $$a\sqrt{2}$$. Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

Разберем задачи по вариантам. Вариант 1 Дано: Правильная треугольная пирамида, высота $$H = a\sqrt{3}$$, радиус описанной окружности $$R = 2a$$. а) Найдем апофему пирамиды (боковой грани). 1. Найдем сторону основания $$a$$ через радиус описанной окружности: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, следовательно, $$a = R\sqrt{3} = 2a\sqrt{3}$$. Получается противоречие, т.к. сторона основания выражена через переменную $$a$$, которая уже используется в высоте пирамиды. Будем считать, что радиус описанной окружности равен $$2b$$, тогда сторона основания $$a = 2b\sqrt{3}$$. 2. Найдем апофему основания $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2b\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = b$$. 3. Апофему пирамиды $$l$$ найдем по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + b^2} = \sqrt{3a^2 + b^2}$$. Тут тоже возникает противоречие, так как используются разные переменные $$a$$ и $$b$$, надо условие переформулировать. Давайте предположим, что радиус описанной окружности равен $$\frac{a}{2}$$. Тогда сторона основания равна $$a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Это не имеет смысла. Условие задачи противоречиво. Невозможно найти апофему в таком случае. б) Угол между боковой гранью и основанием. 1. Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды к радиусу вписанной окружности. $$\tan(\alpha) = \frac{H}{r} = \frac{a\sqrt{3}}{b}$$. Опять же проблема с разными переменными. Если бы было дано числовое значение, можно было бы найти угол. в) Площадь боковой поверхности. 1. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему. $$S = \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot l$$. Опять же, невозможно посчитать точно, так как не определены значения. г) Плоский угол при вершине пирамиды. 1. Этот угол можно найти, если знать апофему и сторону основания. Но из-за неопределенности с условием, найти его не получится. Вариант 2 Дано: Правильная четырехугольная пирамида, апофема $$l = 2a$$, высота $$H = a\sqrt{2}$$. а) Найдем сторону основания пирамиды. 1. В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат. Апофема пирамиды, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Пусть сторона основания равна $$x$$. Тогда $$(\frac{x}{2})^2 + H^2 = l^2$$. 2. $$(\frac{x}{2})^2 = l^2 - H^2 = (2a)^2 - (a\sqrt{2})^2 = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2$$. 3. $$\frac{x}{2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$. 4. $$x = 2a\sqrt{2}$$. Ответ: Сторона основания равна $$2a\sqrt{2}$$ б) Угол между боковой гранью и основанием. 1. $$\tan(\alpha) = \frac{H}{\frac{x}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$$. 2. $$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$$. Ответ: Угол равен $$45^\circ$$ в) Площадь поверхности пирамиды. 1. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания $$S_{осн} = x^2 = (2a\sqrt{2})^2 = 8a^2$$. 2. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = \frac{1}{2}Pl = \frac{1}{2} \cdot 4x \cdot l = 2xl = 2 \cdot 2a\sqrt{2} \cdot 2a = 8a^2\sqrt{2}$$. 3. $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 8a^2 + 8a^2\sqrt{2} = 8a^2(1 + \sqrt{2})$$. Ответ: Площадь поверхности равна $$8a^2(1 + \sqrt{2})$$ г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани. 1. Это расстояние равно радиусу вписанной в квадрат окружности, то есть половине стороны основания. $$r = \frac{x}{2} = a\sqrt{2}$$. Ответ: Расстояние равно $$a\sqrt{2}$$