Вариант 1. Задача 1: Найти острые углы треугольника ABC и высоту CK, если BC = 3.8 см, а угол B равен 150 градусов. Задача 2: В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом E проведена высота EF. Найдите CF и FD, если CD = 18 см, а угол DCE = 30 градусов.

Задача 1: 1. Определение углов треугольника ABC: - Нам дан треугольник ABC, в котором угол C прямой (90 градусов), угол B равен 150 градусов. Нужно найти острые углы треугольника, то есть углы A и B. - Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит, угол A можно найти, вычитая из 180 градусов сумму углов C и B: \[ \angle A = 180^\circ - (\angle C + \angle B) = 180^\circ - (90^\circ + 150^\circ) = 180^\circ - 240^\circ = -60^\circ \] Угол A не может быть отрицательным, поэтому в условии задачи ошибка. Угол B не может быть равен 150 градусам, так как в прямоугольном треугольнике один угол прямой (90 градусов), а остальные два острые (меньше 90 градусов). Предположим, что угол ABC (угол B) равен 60 градусам. Тогда: \[ \angle A = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] Итак, угол A равен 30 градусам. 2. Нахождение высоты CK: - Высота CK проведена из вершины C к стороне AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBK. В этом треугольнике угол C прямой, угол B равен 60 градусам (по нашему предположению). - Нам известна сторона BC = 3.8 см. Нужно найти высоту CK. В прямоугольном треугольнике CBK высота CK является катетом, прилежащим к углу B. - Используем тригонометрическую функцию синус для угла B: \[ \sin(B) = \frac{CK}{BC} \] \[ CK = BC \cdot \sin(B) = 3.8 \cdot \sin(60^\circ) \] Значение синуса 60 градусов равно $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$: \[ CK = 3.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.9 \cdot \sqrt{3} \] \[ CK \approx 1.9 \cdot 1.732 \approx 3.29 \text{ см} \] Ответ: - Острые углы треугольника ABC: $$\angle A = 30^\circ$$, $$\angle B = 60^\circ$$. - Высота CK $$\approx$$ 3.29 см. Задача 2: 1. Анализ условия: - Дан прямоугольный треугольник CDE с прямым углом E. - EF - высота, проведённая из вершины E к гипотенузе CD. - CD = 18 см, угол DCE = 30 градусов. - Нужно найти CF и FD. 2. Нахождение CF: - Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. В нём угол DCE = 30 градусов, CD = 18 см. CF - это проекция катета CE на гипотенузу CD. - Используем косинус угла DCE: \[ \cos(\angle DCE) = \frac{CF}{CE} \] Сначала найдём CE, используя синус угла DCE: \[ \sin(\angle DCE) = \frac{DE}{CD} \] \[ \sin(30^\circ) = \frac{DE}{18} \] \[ DE = 18 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot 0.5 = 9 \text{ см} \] Теперь найдём CE, используя теорему Пифагора для треугольника CDE: \[ CE^2 + DE^2 = CD^2 \] \[ CE^2 = CD^2 - DE^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243 \] \[ CE = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \text{ см} \] Теперь найдём CF, используя косинус угла DCE: \[ \cos(\angle DCE) = \frac{CE}{CD} \] \[ CF = CD \cdot \cos(\angle DCE) = 18 \cdot \cos(30^\circ) \] \[ CF = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \approx 15.59 \text{ см} \] 3. Нахождение FD: - FD - это оставшаяся часть гипотенузы CD после вычитания CF: \[ FD = CD - CF = 18 - 9\sqrt{3} = 18 - 15.59 = 2.41 \text{ см} \] Ответ: - CF $$\approx$$ 15.59 см - FD $$\approx$$ 2.41 см