Вариант 1, Задача 1 (Рис. 7.42): Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), AD = 4, AC = 9. Найти: AB, \(\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}\) .

**Решение:** * Рассмотрим треугольники ABD и ABC. Угол \(\angle A\) - общий, и \(\angle 1 = \angle 2\) по условию. * Тогда \(\triangle ABD \sim \triangle ABC\) по двум углам. * Составим отношение соответствующих сторон: \(\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}\) * Подставим известные значения: \(\frac{4}{AB} = \frac{AB}{9}\) * Решим уравнение: \(AB^2 = 36\), откуда \(AB = 6\) (т.к. длина не может быть отрицательной). * Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания. Проведем высоту из вершины B к стороне AC. Тогда эта высота будет общей для треугольников ABD и ABC. * Следовательно, \(\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{9}\) **Ответ:** AB = 6, \(\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9}\) **Развернутый ответ для школьника:** В этой задаче мы сначала доказали подобие треугольников ABD и ABC по двум углам. Затем, зная, что треугольники подобны, мы записали отношение соответствующих сторон и нашли AB. Далее мы использовали свойство, что площади треугольников с общей высотой относятся как их основания, чтобы найти отношение площадей.